逆矩阵求法及范例求解最全汇总

什么是奇异方阵什么是非奇异方阵

1. 奇异方阵 (Singular Matrix)

• 定义: 一个方阵 $A$ 如果是奇异的，那么它的行列式等于零，即 $\det (A)=0$。
• 性质:

奇异方阵不可逆，也就是说它没有逆矩阵。
它的行或列之间存在线性依赖关系（即某些行或列可以由其他行或列线性组合表示）。
在线性方程组 $Ax=b$ 中，如果 $A$ 是奇异的，可能没有解或有无穷多解（取决于 $b$）。

• 例子:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$$

这里 $\det (A)=1\cdot 4-2\cdot 2=4-4=0$，所以 $A$ 是奇异方阵。

2. 非奇异方阵 (Non-Singular Matrix)

• 定义: 一个方阵 $A$ 如果是非奇异的，那么它的行列式不等于零，即 $\det (A)\ne 0$。
• 性质:

非奇异方阵是可逆的，也就是说存在逆矩阵 $A^{-1}$，满足 $A\cdot A^{-1}=I$（$I$ 是单位矩阵）。
它的行和列都是线性无关的。
在线性方程组 $Ax=b$ 中，如果 $A$ 是非奇异的，那么对于任意 $b$，方程组有唯一解。

• 例子:

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

这里 $\det (A)=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2\ne 0$，所以 $A$ 是非奇异方阵。

总结区别

性质	奇异方阵 ($\det (A)=0$)	非奇异方阵 ($\det (A)\ne 0$)
可逆性	不可逆	可逆
行列式	等于 0	不等于 0
线性无关性	行/列线性依赖	行/列线性无关
方程组解	无解或无穷多解	唯一解

所有逆矩阵求法的总结

方法分类与详细说明

1. 高斯-约当消元法

• 描述：将矩阵 $A$ 与单位矩阵 $I$ 并列，形成增广矩阵 $[A|I]$，通过初等行变换将左半部分 $A$ 化为单位矩阵 $I$。变换后的右半部分即为 $A^{-1}$。
• 适用性：适用于任何可逆矩阵，计算步骤直观，适合手动计算。
• 复杂度：时间复杂度为 $O(n^3)$，对大型矩阵可能效率较低。

2. 余因子展开法（伴随矩阵法）

• 描述：首先计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det (A)$。然后计算每个元素的余子式，组成余因子矩阵，再转置得到伴随矩阵 $\text{adj}(A)$。最后，逆矩阵为 $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \text{adj}(A)$。
• 适用性：对小型矩阵（如2x2、3x3）非常实用，但对大型矩阵计算量指数增长。
• 注意：需确保 $\det (A)\ne 0$，否则矩阵不可逆。

3. 2x2矩阵的直接公式

• 描述：对于 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，若 $ad-bc\ne 0$，则 $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。
• 适用性：快速求解2x2矩阵的逆，常用在初等线性代数中。
• 扩展：这是余因子展开法的特例，计算简单直观。

4. 特殊矩阵的逆

• 对角矩阵：若 $A=\text{diag}(a_1,a_2,\dots ,a_n)$，则 $A^{-1}=\text{diag}(1/a_1,1/a_2,\dots ,1/a_n)$，前提是 $a_i\ne 0$。
• 三角矩阵：上三角或下三角矩阵的逆可以通过前向代入（下三角）或后向代入（上三角）求解，计算效率高。
• 正交矩阵：若 $A^{T}A=I$，则 $A^{-1}=A^T$，计算最简单，常见于旋转矩阵。

5. 分解法

• LU分解：将 $A=LU$，其中 $L$ 为下三角矩阵，$U$ 为上三角矩阵。则 $A^{-1}=U^{-1}{L}^{-1}$，通过求解三角矩阵的逆实现。
• QR分解：将 $A=QR$，其中 $Q$ 为正交矩阵，$R$ 为上三角矩阵。则 $A^{-1}=R^{-1}{Q}^T$。
• SVD（奇异值分解）：将 $A=U\Sigma V^T$，其中 $U,V$ 为正交矩阵，$\Sigma$ 为奇异值的对角矩阵。则 $A^{-1}=V{\Sigma }^{-1}{U}^T$，需确保 $\Sigma$ 无零值。
• 适用性：这些方法在数值计算中效率高，常用在科学计算和机器学习中。

6. 特征值-特征向量法

• 描述：若矩阵 $A$ 可对角化，即 $A=PD{P}^{-1}$，其中 $D$ 为特征值的对角矩阵，$P$ 为特征向量的矩阵，则 $A^{-1}=P{D}^{-1}{P}^{-1}$。
• 适用性：仅适用于可对角化的矩阵，计算特征值和特征向量可能复杂。
• 局限性：对非对角化矩阵（如Jordan标准型）不适用。

7. Cayley-Hamilton定理法

• 描述：根据Cayley-Hamilton定理，矩阵 $A$ 满足其特征多项式 $p(A)=0$。通过特征多项式，可以表达 $A^{-1}$ 为 $A$ 的低次幂组合，例如对于2x2矩阵，可推导 $A^{-1}$ 的表达式。
• 适用性：理论上通用，但计算复杂，实际应用少。
• 例子：对于2x2矩阵，特征多项式为 ${\lambda }^2-\text{trace}(A)\lambda +\det (A)=0$，可推导逆矩阵。

8. 迭代法

• 描述：如Newton-Raphson迭代法，从初始猜测 $X_0$ 开始，迭代 $X_{k+1}=X_k(2I-A{X}_k)$，收敛于 $A^{-1}$，前提是初始值足够接近。
• 适用性：数值计算中用于近似求逆，效率依赖于矩阵条件数。
• 局限性：收敛性不保证，计算可能发散。

方法对比表

方法名称	适用矩阵类型	计算复杂度	适用场景	备注
高斯-约当消元法	任何可逆矩阵	$O(n^3)$	手动计算，小型矩阵	直观，通用
余因子展开法	任何可逆矩阵	指数增长	小型矩阵（如2x2, 3x3）	计算量大，行列式复杂
2x2直接公式	2x2矩阵	$O(1)$	快速求解2x2矩阵	简单公式，常用
对角矩阵逆	对角矩阵	$O(n)$	快速求解，元素独立	只要对角元素非零即可
三角矩阵逆	三角矩阵	$O(n^2)$	数值计算，代入法	前向/后向代入高效
正交矩阵逆	正交矩阵	$O(n^2)$	旋转矩阵，几何变换	逆等于转置，计算最快
LU分解	任何可逆矩阵	$O(n^3)$	数值计算，大型矩阵	需要分解，稳定
QR分解	任何可逆矩阵	$O(n^3)$	数值计算，条件数大时稳定	常用在最小二乘问题
SVD	任何可逆矩阵	$O(n^3)$	数值计算，奇异值分析	通用性强，处理奇异值
特征值-特征向量法	可对角化矩阵	视特征值复杂性	理论分析，特殊矩阵	需要特征值分解
Cayley-Hamilton定理法	任何可逆矩阵	视矩阵阶数	理论研究，不常用	计算复杂，少用
迭代法	任何可逆矩阵	视收敛速度	数值近似，条件数小时	收敛性需验证

正交矩阵的逆计算极其简单，仅需转置矩阵，这在几何变换（如旋转矩阵）中非常实用。同样，对角矩阵的逆计算也仅需取倒数，效率极高。

关键引文

• Inverse of a Matrix - Maths Is Fun, 详细解释矩阵逆的基本方法
• Inverse Matrix - Byju’s, 包含多种求逆矩阵的步骤和例子
• Inverse of Matrix - GeeksforGeeks, 提供公式和编程实现的矩阵逆方法
• Inverse of Matrix - Cuemath, 讲解矩阵逆的理论和应用场景
• 4 Ways to Find the Inverse of a 3x3 Matrix - wikiHow, 专注于3x3矩阵的求逆方法
• Matrix Inverse - Wolfram MathWorld, 数学百科全书中的矩阵逆定义和方法
• What is an inverse matrix, and what’s it used for? - Purplemath, 解释矩阵逆的用途和计算方法
• Inverse Matrix Calculator - Reshish, 在线计算矩阵逆的工具和说明
• 2.4: Inverse Matrices - Mathematics LibreTexts, 学术资源中的矩阵逆教学内容
• Find the Inverse of a Matrix | College Algebra - Lumen Learning, 大学代数课程中的矩阵逆讲解

每一种方式的一个范例

1. 高斯-约当消元法

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 构造增广矩阵 $[A|I]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& |& 1& 0\\ 3& 4& |& 0& 1\end{array}\right]$。
2. 行变换：

• $R_2=R_2-3R_1$: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& |& 1& 0\\ 0& -2& |& -3& 1\end{array}\right]$。
• $R_2=-\frac{1}{2}{R}_2$: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& |& 1& 0\\ 0& 1& |& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。
• $R_1=R_1-2R_2$: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& |& -2& 1\\ 0& 1& |& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。

3. 左边化为单位矩阵，右边即为逆矩阵：
   $A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} $。

2. 余因子展开法（伴随矩阵法）

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 计算行列式：$\det (A)=1\cdot 4-2\cdot 3=4-6=-2$。
2. 计算余因子矩阵：

• $C_{11}=4$, $C_{12}=-3$, $C_{21}=-2$, $C_{22}=1$。
• 余因子矩阵：$\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ -2& 1\end{array}\right]$。

3. 转置得伴随矩阵：$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]$。
4. 逆矩阵：$A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\cdot \text{adj}(A)=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。

3. 2x2矩阵的直接公式

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 公式：$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$。
2. 代入：$a=1,b=2,c=3,d=4$，行列式 $ad-bc=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$。
3. 计算：$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。

4. 对角矩阵的逆

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 对角矩阵的逆是将对角元素取倒数。
2. $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]$。
   验证: $A\cdot A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

5. 三角矩阵的逆（上三角为例）

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 使用后向代入法，设 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]$，满足 $A\cdot A^{-1}=I$。
2. 计算：$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

• $x+2z=1$, $y+2w=0$。
• $3z=0$, $3w=1$。

3. 解得：$z=0,w=\frac{1}{3},x=1,y=-\frac{2}{3}$。
4. 逆矩阵：$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]$。

6. 正交矩阵的逆

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ 的逆（这是一个旋转矩阵，满足 $A^{T}A=I$）。
步骤:

1. 正交矩阵的逆等于其转置。
2. $A^T=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$。
3. 逆矩阵：$A^{-1}=A^T=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$。
   验证: $A\cdot A^T=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。

7. LU分解法

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 分解 $A=LU$:

• $L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right]$, $U=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right]$。

2. 求 $U^{-1}$（上三角）：设 $U^{-1}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right]$，解 $U\cdot U^{-1}=I$:

• $a=1,2a+(-2)b=0\Rightarrow b=-1,(-2)c=1\Rightarrow c=-\frac{1}{2}$。
• $U^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。

3. 求 $L^{-1}$（下三角）：设 $L^{-1}=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ y& z\end{array}\right]$，解 $L\cdot L^{-1}=I$:

• $x=1,3x+z=0\Rightarrow z=-3,y=1$。
• $L^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right]$。

4. $A^{-1}=U^{-1}{L}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$。

8. QR分解法

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. Gram-Schmidt正交化：

• 列向量 $a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $a_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$。
• $u_1=a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $u_2=a_2-\frac{a_2\cdot u_1}{u_1\cdot u_1}{u}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]-1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$。
• $Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$（此处简化，实际需归一化）。
• $R=Q^{T}A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$。

2. $R^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$（上三角逆）。
3. $A^{-1}=R^{-1}{Q}^T=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$。

9. SVD（奇异值分解）

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. $A^{T}A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$，特征值：${\lambda }^2-3\lambda +1=0$，解得 $\lambda =\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$，奇异值为 ${\sigma }_1=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}},{\sigma }_2=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$。
2. 简化计算，取近似 $U=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$, $V=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$, $\Sigma =\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2)$。
3. $A^{-1}=V{\Sigma }^{-1}{U}^T$，此处直接验证 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$（因SVD计算复杂，简化展示）。

10. 特征值-特征向量法

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 特征值：$\det (A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2=0$，$\lambda =2$（重根）。
2. 特征向量：$A-2I=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，取 $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$。但因不可对角化，需Jordan形式，此处用其他方法验证 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{4}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。

11. Cayley-Hamilton定理法

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 特征多项式：$\det (A-\lambda I)=(1-\lambda {)}^2={\lambda }^2-2\lambda +1$。
2. $A^2-2A+I=0$，则 $A^2=2A-I$。
3. $A^{-1}{A}^2=A^{-1}(2A-I)=2I-A^{-1}$，解得 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right]$。

12. 迭代法（Newton-Raphson）

例子: 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 的逆。
步骤:

1. 初始猜测 $X_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$。
2. 迭代：$X_1=X_0(2I-A{X}_0)=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$。
3. 收敛至 $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$。