四元数与角轴、旋转矩阵、so(3)、SO(3) 的关系

原创 已于 2024-01-30 14:52:28 修改
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#矩阵 #线性代数

于 2024-01-25 11:06:40 首次发布

四元数定义

q = [ s , υ ] T , s = q 0 ∈ R , υ = [ q 1 , q 2 , q 3 ] T ∈ R 3 \left.q=\left[\begin{matrix}{s,\upsilon}\\\end{matrix}\right.\right]^{\mathrm{T}},s=q_{0}\in\mathbb{R},\upsilon=\left[\begin{matrix}{q_{1}},q_{2},q_{3}\\\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}\in\mathbb{R}^{3} q=[s,υ​]T,s=q0​∈R,υ=[

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三维空间刚体运动1：旋转矩阵与变换矩阵（详解加代码示例）
shao918516的博客
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本篇继续参照高翔老师《视觉SLAM十四讲从理论到实践》，讲解三维空间刚体运动。博文将原第三讲分为四部分来讲解：1、旋转矩阵和变换矩阵；2、旋转向量表示旋转；3、欧拉角表示旋转；4、四元数表示变换。本文相对于原文会适当精简，同时为便于理解，会加入一些注解和补充知识点，本篇为第一部分：旋转矩阵和变换矩阵，另外三部分请参照博主的其他博文。
sophus库 so3三维向量在不适用sophus库情况下转换到旋转矩阵
zhengshunkai的博客
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实际上就是使用罗德里格斯公式进行转换: 代码如下 Eigen::Matrix3d calR(const Eigen::Matrix<double,6,1>& update) { //cos(the)*I + (1-cos(the))*ano*anot+sin(the)*anohat //omega = the * ano Eigen::Vector3d ...
liegroups:使用numpy或pytorch的SO2，SE2，SO3和SE3矩阵李组的Python实现
04-29
说谎者 SO2，SE2，SO3和SE3矩阵Lie组的Python实现使用numpy或PyTorch。 安装 要进行安装，请cd进入存储库目录（带有setup.py目录）并运行： pip install . 或者 pip install -e . -e标志告诉pip就地安装软件包，这使您可以更改代码而不必每次都重新安装。 不要在共享工作站上执行此操作！ 测验 确保已pytest安装在系统上，或者使用安装conda install pytest或pip install pytest 。 然后在存储库目录中运行pytest 。 用法 可通过liegroups.numpy和liegroups.torch子包来访问Numpy和liegroups.numpy实现。 默认情况下，numpy实现可通过顶级程序包使用。 使用类似的方法访问numpy实现 from liegroups import S
四元数对于SO3具有double cover的理解
Coderii的博客
06-11 2323
四元数对于SO3具有double cover的理解四元数表征的是四维空间的变换isoclinic rotation和三维空间中的旋转的关系 本文是在学习《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》时，对于书中四元数double cover特性的个人理解。 作者在文中也有说明，该现象仍未有一个完美的解释，本文的内容包含很多猜想的成...
【代码】四元数、RPY、旋转矩阵、so3之间的转换
weixin_42235171的博客
09-23 840
代码：四元数、RPY、旋转矩阵、so3之间的转换
四元数矩阵与 so(3) 左右雅可比
m0_37870385的博客
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我们知道，单位四元数 q 和 so(3) 向量 （即 rotation vector）的对应关系为： , in which 当 很小时，可以近似表达为： 四元数小量和李代数小量有很简单的对应关系，所以在使用四元数的优化问题中，往往也取 小量作为更新量，例如 OKVIS [1]。具体到优化过程中，使用李群李代数（如预积分论文 [2]）和使用四元数之间还是有区别的。使用李群李代数，在 residual 推导时会用到 so3 的左雅可比或右雅可比；使用四元数，会用到四元数矩阵（或共轭四元数矩阵）。不
SO3，SE3，旋转，欧拉角与四元数笔记
longwoo1012的博客
02-09 2472
在机器人学中的定义和其它领域中的定义有时候会有不同，长时间不用也会记混淆。这里记录一下便于回头翻阅。 参考《A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation》p31-32 The ZYX Euler angles are also referred to as the yaw, pitch, and roll angles, with RabR_{ab}Rab​ defined by rotating about the x-axis in the b
表示二维和三维（SO(2)、SE(2)、SO(3)、SE(3)）中的方向和姿态的正交和齐次变换矩阵、四元数、旋转变换、三重角和矩阵指数的函数Matlab代码.rar
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在旋转和变换的应用中，矩阵指数用于计算旋转矩阵，可以将向量或矩阵映射到SO(3)群中的旋转矩阵。 本Matlab代码包提供了一套参数化的编程工具，方便用户根据需要更改参数，并提供了清晰的编程思路和详细的注释。这...
视觉SLAM学习笔记2：旋转矩阵、变换矩阵、旋转向量与四元数简述
newton的博客
02-08 4269
视觉SLAM学习笔记2：旋转矩阵、变换矩阵、旋转向量与四元数简述 1.旋转矩阵 （1）向量外积 对于向量外积,除了现线代课本上的方法，还可以引入∧ 符号,把 a 写成一个矩阵。事实上a∧ 是一个反对称矩阵。外积只对三维向量存在定义。 反对称矩阵： 设A为n维方阵，若有AT=-A，即该矩阵的转置等于他的相反数，则称矩阵A为反对称矩阵，每个反对称矩阵都有与之对应的向量a。 （2）旋转矩阵推导 e、e...
matlab与李群SO(3)和SE(3)一起工作的一些函数。机器人的状态估计.zip
05-16
1. **转换函数**：从欧氏坐标到四元数，从四元数到旋转矩阵，以及从旋转矩阵到轴角表示的转换。这些转换在处理机器人运动时非常常见。 2. **群运算**：实现SO(3)和SE(3)的乘法，这允许我们组合多个旋转和平移来得到...
so(3)是个三维流形
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首先假设你已经知道所有旋转矩阵是一个李群，记作so(3)然后这个集合中每个元素都可以用一个a=[a1,a2,sqrt(1-a1^2-a2^2)]^T的单位向量和一个θ来表示(这里默认单位向量的第三个分量为非负的)。所以这个李群是一个三维的流形。 ...
SO(3)的含义
Aristotle__的博客
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定义：SO(3)={R| R^转置 R= I,det (R)=±1}；SO(3)是包含旋转矩阵R的一种特殊正交群，我们称之为三维旋转群。
用绕轴旋转的方法表示旋转群SO(3)
Brandonsemenuk的博客
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这个图反映了向量空间向李代数的映射，在SO(3)中，向量空间中的向量τ∈R3，这里我们用绕单位轴旋转的方法来表征这一向量而非rpy角，那么我们需要4个值 ωhat=(ω1 ω2 ω3)与θ，由于其满足ω12+ω22+ω32=1，所以我们只需要知道其中两个值即可，再加上旋转角θ，这一表示方法的维度实际上还是3，可令τ=ωhatθ作为向量空间的向量构成。 对于一个三维空间中的旋转可表示为下图所示， p(0)绕ωhat旋转θ角，角速度为1rad/s，旋转过程中某一时刻下向量p速度满足下列微分方程， 要将其用一
机器人学关于SE（3）、se（3）、SO（3）、so（3）的理解
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Rot_Tianers
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一、常用符号表 SE(3):特殊欧式群 se(3):特殊欧式群的李代数 SO(3): 三维特殊正交群 so(3): 三维特殊正交群的李代数 T(3):三维移动群 R: 旋转矩阵 二、关系 李代数：李群单位元处的切空间； SO(3) 和T(3) 都是SE(3)的李子群 在刚体运动中： SO(3)代表旋转运动（R∈SO(3)R\in SO(3)R∈SO(3)），齐次变换表示为: R001\begin{matrix} R&0\\ 0&1\\ \end{matrix}R0​01​ T(3
李群&李代数：SO3 与so3 & SE3与se3 & SIM3
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文章目录1 旋转*叉乘1.1 旋转矩阵的导数1.2 物理意义1.3 实例1.4 角轴与反对称矩阵2 SO3 与so32.1 so3 2 SO32.2 SO3 2 so33 SE3 与se33.1 se3 2 SE3:3.2 SE3 2 se34 SIM3 与sim35 Adjoint Map 1 旋转*叉乘 1.1 旋转矩阵的导数 根据旋转矩阵的性质：RRT=IRR^T=IRRT=I，对两侧进行求导可得： R˙RT=−RR˙T\dot{R} R^T=-R\dot R TR˙RT=−RR˙T 从而可知，R˙R
1、旋转在三维空间中的表现形式
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有4种表达方式：旋转矩阵SO(3)、四元数、旋转向量和欧拉角。
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最直观的理解就是，给定群中的任意两个元素，它们经过群操作后得到的结果仍然是这个群的一个合法元素，而且这个操作需满足一系列的代数性质。具体来说，李括号运算是一个从李代数的两个元素到李代数的映射，记作 ([X, Y])，其中 (X) 和 (Y) 是李代数中的元素。具体到李代数与李群之间的关系，李代数可以被看作李群在单位元（即李群的恒等元素）的切空间，李括号反映了李群上流形局部的非交换性，即群操作在局部上的非交换性质。旋转矩阵属于特殊的正交群，即SO(n)，这里n通常是3，所以SO(3)就是三维旋转矩阵的群。
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关于旋转矩阵 在坐标系的变换中，主要分为旋转变换和平移变换。对于旋转变换来说，常常通过一个3×3的正交矩阵来描述坐标系的一个旋转过程，也可以用于描述一个空间物体的姿态。 1.旋转矩阵 旋转矩阵一般可以通过以下几种方式获得。 1.1.根据定义 已知存在两个坐标系{A}和{B}，如何得到相对于{A}的{B}的姿态，即旋转矩阵BAR^A_BRBA​R呢？ 假设用XB^\hat{X_B}XB​^​、YB^\hat{Y_B}YB​^​和ZB^\hat{Z_B}ZB​^​来表示坐标系{B}主轴方向的单位矢量。当用坐标系
【SLAM十四讲学习笔记】第3讲 三维空间刚体运动
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旋转矩阵偏差
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05-22
### 旋转矩阵偏差的定义 在计算机图形学中，旋转矩阵偏差通常指的是由于数值误差或累积运算导致的实际旋转矩阵偏离理想正交性质的现象。理想的旋转矩阵应满足 \( R^T R = I \) 和 \( \det(R) = 1 \)，其中 \( R^T \) 是旋转矩阵的转置，\( I \) 是单位矩阵[^5]。然而，在实际应用中，浮点数精度不足、多次矩阵乘法或其他数值不稳定的操作可能导致旋转矩阵不再严格保持正交性。 --- ### 旋转矩阵偏差的原因 #### 1. **数值不稳定性** 浮点数计算过程中不可避免地引入舍入误差。当多个旋转矩阵相乘时，这种误差会被逐步放大，最终破坏矩阵的正交特性[^6]。 #### 2. **插值操作** 在动画或模拟中，常需对两个旋转矩阵进行插值（如线性插值）。如果未采取适当措施，则插值得到的结果可能不再是严格的旋转矩阵[^7]。 #### 3. **外部干扰** 外部因素如传感器噪声也可能影响旋转矩阵的精确性。例如，在SLAM系统中，相机姿态估计可能会受到测量误差的影响，进而使旋转部分发生偏移[^8]。 --- ### 旋转矩阵偏差的解决方案 #### 1. **重新正交化** 可以通过对旋转矩阵执行奇异值分解 (SVD) 来恢复其正交性。假设给定一个近似旋转矩阵 \( M \)，可以将其分解为 \( U\Sigma V^T \)，并通过设置 \( R_{\text{corrected}} = UV^T \) 获得修正后的旋转矩阵[^9]。 ```python import numpy as np def orthogonalize_rotation_matrix(M): u, s, vh = np.linalg.svd(M) corrected_R = np.dot(u, vh) return corrected_R ``` #### 2. **四元数表示** 使用四元数代替旋转矩阵能够更稳定地表示三维空间中的旋转，并减少积累误差的可能性。因为四元数仅由四个分量组成，相比九个分量的矩阵更容易维护规范化条件[^10]。 #### 3. **约束优化** 如果是在优化框架下调整旋转矩阵（如 SLAM 中的姿态估计），可以在目标函数中加入额外项以强制约束旋转矩阵接近于正交形式。这种方法常见于基于非线性最小二乘的方法中[^11]。 --- ### 数学背景下的讨论 从数学角度来看，任何有效的旋转都可以唯一映射至特殊正交群 SO(3) 上的一个元素。因此，修复旋转矩阵本质上就是寻找最接近原始扰动矩阵的有效成员的过程。这一问题可通过多种途径解决，包括但不限于 SVD 方法以及投影回流形的技术[^12]。 ---
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