洛谷 P2358 题解

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题目大意

有一个单位正方体，按照三视图都为标准正方形放置。

在顶面和底面按照同样的方式分别建立一个平面直角坐标系：

• 即选择顶面（底面）正方形的中心作为原点 $O$，以俯视图的右侧作为 $x$ 轴正方向，以俯视图的上侧作为 $y$ 轴正方向。

现在要求你从顶部的一个点 $(sx,sy)$ 走到底部的一个点 $(tx,ty)$，只能经过正方体表面，求走过的距离最短是多少。

数据范围

• $-0.5⩽sx,sy,tx,ty⩽0.5$

Solution

我们先将坐标中心放到角落，这里以俯视图的左下角为新的原点 $O$，$x$ 轴和 $y$ 轴正方向不变，建立新的平面直角坐标系，即横纵坐标全部 $+0.5$。

考虑对立面在正方体平面展开图的位置，如下图所示，相同颜色的表示对立面。

可以看到，有经过 $1/2/3$ 个多余面到达对立面的，而经过 $3$ 个的太远（上图第二行第三张图片的两个黄色块），一定不如 $1/2$，所以我们只考虑经过 $1/2$ 个多余面的情况。

经过 $1$ 个多余面（如上图第一行第一张图片任意颜色的色块）

这种情况可以都划为以下两种：

• 从顶面经过前面再到底面
• 从顶面经过后面再到底面

至于经过侧面的，可以让横纵坐标互换（想象坐标系和正视的角度都旋转了 $90^{\circ }$），这样侧面就是正面。

那么就有公式

• 经过前面：$hypot(sx-tx,sy+1+ty)$
• 经过后面：$hypot(sx-tx,(1-sy)+1+(1-ty))$

其中 $hypot(x,y)$ 表示 $\sqrt{x^2+y^2}$。

综合起来就是 $hypot(sx-tx,\min (sy+ty,(1-sy)+(1-ty))+1)$。

经过 $2$ 个多余面（如上图第一行第二张图片的蓝色块）

这种情况也都可以划为以下两种:

• 从顶面经过前面，再经过左侧面，最后到底面
• 从顶面经过前面，再经过右侧面，最后到底面

至于其余的先侧面再后面或是什么情况，都可以通过旋转坐标系和正视的角度来变为上述两种情况。

这里我们选择每次顺时针旋转坐标系 $90^{\circ }$，共转四次。形象表示就是从 $L$ 转到 $\Gamma$，其坐标的变化是

$$\begin{gathered} x^{\prime }=1-y \\ {y}^{\prime }=x \end{gathered}$$

考虑经过左侧面的情况。我们保持顶面坐标系不动，变化底面坐标系。

此时想象底面和左侧面是粘在一起的，先把底面往下折 $90^{\circ }$，和左侧面成为一个平面，那么 $x$ 轴的正方向就从右侧变为（正视图的）下侧，$y$ 轴正方向不变，仍然为（俯视图的）上侧。然后把左侧面和底面一起往前掰，直到和前面成为一个平面，那么 $x$ 轴的正方向不变，仍为（正视图的）下侧，而 $y$ 轴正方向从（俯视图的）上侧变为（正视图的）左侧。最终形成的两个坐标系如下图所示。

我们接着把底面坐标系掰正，即变为 $x$ 正方向右，$y$ 正方向上的情形。那么就需要底面坐标做出如下改变：

$$\begin{gathered} t{x}^{\prime }=1-ty \\ t{y}^{\prime }=1-tx \end{gathered}$$

然后以最左下的点（即底面坐标改变后的原点）作为原点 $O$，顶面的坐标变为

$$\begin{gathered} s{x}^{\prime }=1+sx \\ s{y}^{\prime }=2+sy \end{gathered}$$

最后的距离为 $hypot(s{x}^{\prime }-t{x}^{\prime },s{y}^{\prime }-t{y}^{\prime })$。

考虑经过右侧面的情况。我们保持顶面坐标系不动，变化底面坐标系。

此时想象底面和右侧面是粘在一起的，先把底面往下折 $90^{\circ }$，和右侧面成为一个平面，那么 $x$ 轴的正方向就从右侧变为（正视图的）上侧，$y$ 轴正方向不变，仍然为（俯视图的）上侧。然后把右侧面和底面一起往前掰，直到和前面成为一个平面，那么 $x$ 轴的正方向不变，仍为（正视图的）上侧，而 $y$ 轴正方向从（俯视图的）上侧变为（正视图的）右侧。最终形成的两个坐标系如下图所示。

我们接着把底面坐标系掰正，即变为 $x$ 正方向右，$y$ 正方向上的情形。那么就需要底面坐标做出如下改变：

$$\begin{gathered} t{x}^{\prime }=ty \\ t{y}^{\prime }=tx \end{gathered}$$

然后以最左下的点（图中底面左下角再往左一个单位）作为原点 $O$，顶面和底面坐标变为

$$\begin{array}{rl}s{x}^{\prime }& =sx\\ s{y}^{\prime }& =2+sy\\ t{x}^{\prime \prime }& =1+t{x}^{\prime }\\ t{y}^{\prime \prime }& =t{y}^{\prime }\end{array}$$

最后的距离为 $hypot(s{x}^{\prime }-t{x}^{\prime \prime },s{y}^{\prime }-t{y}^{\prime \prime })$。

C++ Code

#include <bits/stdc++.h>

using f64 = double_t;

constexpr f64 U = 0.5;

f64 opp(f64 x, f64 y, f64 a, f64 b) {
    return std::hypot(x - a, std::min((1 - y) + (1 - b), y + b) + 1);
}
f64 hypot(f64 x, f64 y, f64 a, f64 b) {
    return std::hypot(x - a, y - b);
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    
    std::cout << std::fixed << std::setprecision(3);
    
    f64 sx, sy, tx, ty;
    std::cin >> sx >> sy >> tx >> ty;
    sx += U;
    sy += U;
    tx += U;
    ty += U;

    f64 ans = std::min(opp(sx, sy, tx, ty), opp(sy, sx, ty, tx));
    for (int i = 0; i < 4; i++) {
        ans = std::min({ans, hypot(1 + sx, 2 + sy, 1 - ty, 1 - tx), hypot(sx, 2 + sy, 1 + ty, tx)});
        std::tie(sx, sy) = std::pair{1 - sy, sx};
        std::tie(tx, ty) = std::pair{1 - ty, tx};
    }
    std::cout << ans << "\n";

    return 0;
}