第十三届蓝桥杯省赛JavaA组 D 题、Java C 组 G 题、Python C 组 G题——GCD（AC）

1.GCD

1.题目描述

给定两个不同的正整数 $a,b$ 求一个正整数
$k$ 使得 $gcd(a+k,b+k)$ 尽可能 大,其中 $gcd(a,b)$ 表示
$a$ 和 $b$ 的最大公约数，如果存在多个 $k$, 请输出所有满 足条件的
$k$ 中最小的那个。

2.输入格式

输入一行包含两个正整数 $a,b$, 用一个空格分隔。

3.输出格式

输出一行包含一个正整数 $k$ 。

4.样例输入

5 7

5.样例输出

1

6.数据范围

$1\le a<b\le 10^{18}$

7.原题链接

GCD

2.解题思路

熟悉gcd的性质的话，根据更相减损术可以知道一个等式：
$$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)$$
当然这里前提是 $b>=a$，同样根据该式我们可以将题目给定的原式进行变形:
$$gcd(a+k,b+k)=gcd(a+k,b-a)$$
因为 $a,b$ 都是已知的，我们令 $c=b-a$，当然此时需要保证b>=a，那么我们求的式子就变为了$gcd(a+k,c)$，显然这个式子的最大gcd一定为 $c$，我们只需要计算出 $a$ 最少需要增加多少可以成为 $c$ 的倍数，这个增量即是答案 $k$ 。
时间复杂度：$O(1)$

3.Ac_code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int, int> PII;
#define pb(s) push_back(s);
#define SZ(s) ((int)s.size());
#define ms(s,x) memset(s, x, sizeof(s))
#define all(s) s.begin(),s.end()
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1000000007;
const int N = 200010;

LL a, b;
void solve()
{
	cin >> a >> b;
	if (a > b) swap(a, b);
	LL c = b - a;
	LL g = a / c;
	if (a % c) g++;
	cout << (g * c - a) << '\n';
}
int main()
{
	ios_base :: sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	int t = 1;
	while (t--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}