【图像处理lec9】小波与多分辨率分析

高斯金字塔 (Gaussian Pyramid)：
- 每一层是对上一层图像进行平滑（模糊）处理后降采样的结果。
- 用于表示图像的逐渐模糊的近似。
拉普拉斯金字塔 (Laplacian Pyramid)：
- 每一层是高斯金字塔相邻两层的差值，捕捉的是图像中的高频成分（边缘、细节）。
- 可以通过存储图像残差实现图像压缩。

（2）高斯金字塔

原理

平滑：每一层图像通过一个低通滤波器（例如高斯核）进行模糊处理。
下采样：然后对模糊后的图像进行降采样（通常减小一半分辨率），生成下一层。

特点

保留图像的大致结构信息，但分辨率逐层减小，细节逐渐丢失。
应用：
- 生成多分辨率表示，用于图像分割、特征提取、纹理分析等。

实现流程

输入原始图像 (Level J)。
使用高斯滤波器对图像进行模糊。
对模糊后的图像进行下采样，形成 (Level J-1)。
重复上述过程，直到生成顶层图像 (Level 0)。

（3）拉普拉斯金字塔

原理

残差计算：拉普拉斯金字塔中的每一层是高斯金字塔中相邻两层之间的差值（上层先进行上采样）。差值捕捉了图像的高频成分（例如边缘和细节）。
高频和低频的结合：高斯金字塔负责表示图像的低频信息，而拉普拉斯金字塔捕获高频信息。

特点

紧凑地表示图像细节，用于图像重建和压缩。
拉普拉斯金字塔可以通过存储较少的数据来有效压缩图像。

实现流程

构建高斯金字塔。
对高斯金字塔的每一层进行上采样。
计算上采样图像与当前层图像的差值，生成拉普拉斯金字塔。

优点

在多分辨率分析中表现优异，能高效分离低频和高频信息。
易于用于图像重构。

（4）金字塔的结构与生成框图

层级结构：

最底层 (Base)：最大分辨率图像。
中间层：逐层平滑降采样。
顶层 (Apex)：最小分辨率图像。

降采样的规律：每一层的宽度和高度比上一层减少一半。

关键步骤：

近似滤波器（模糊滤波器） (Approximation Filter)：提取低频分量。
降采样 (Downsampling)：减小分辨率。
插值滤波器 (Interpolation Filter)：用于重建上采样时的平滑操作。
残差计算 (Prediction Residual)：存储细节信息。

（5）高斯和拉普拉斯金字塔的比较

高斯金字塔 (Gaussian Pyramid)：

各层图像逐渐模糊，细节减少。
用于表示图像的全局结构。

拉普拉斯金字塔 (Laplacian Pyramid)：

捕捉相邻层之间的差异（高频信息）。
可重构原始图像，也可用于图像压缩。

图像表示

高斯金字塔的低频信息表示图像的整体形状和明暗关系。
拉普拉斯金字塔中的高频信息表示图像的边缘、纹理等细节。

3、子带编码

（1）子带编码的基本概念

子带编码是将输入信号分解为多个子带（低频和高频分量），分别对这些子带进行编码和处理。它的核心思想是将信号分解到不同频率范围，然后根据每个子带的特点单独处理。

子带编码的关键要素

分解（Analysis）：将信号通过滤波器组，分解为低频子带和高频子带。
降采样（Downsampling）：对每个子带进行降采样，减少数据量。
上采样：对每个子带进行上采样，用于恢复维度。
重构（Synthesis）：对处理后的子带进行插值（上采样）和滤波，恢复原始信号。

（2）子带编码的组成模块

滤波器组

子带编码使用 分析滤波器组 和 合成滤波器组，分别用于分解和重构信号。

分析滤波器组：

高通滤波器 $H_1(z)$ ：提取高频细节（例如边缘、纹理）。
低通滤波器 $H_0(z)$ ：提取低频内容（例如整体结构、能量分布）。

合成滤波器组：

重建时使用滤波器 $G_0(z)$ 和 $G_1(z)$ 。

降采样和上采样

降采样 (Downsampling)：在时间域上将信号采样率降低，减少冗余信息。
上采样 (Upsampling)：在重构阶段通过插值将信号恢复到原始长度。

（3）数学原理

理论依据 —— 上下采样的Z-域表达

Z-变换在子带编码中的作用

Z-变换公式：
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}$
Z-变换用于分析信号在频域的特性。
降采样和上采样的Z-域表达：
- 降采样： $x_{\text{down}}(n) = x(2n), \quad X_{\text{down}}(z) = \frac{1}{2}[X(z^{\frac{1}{2}}) + X(-z^{\frac{1}{2}})]$ 在频域中，下采样会导致频谱的压缩，同时伴随着频谱折叠（混叠）。
- 上采样： $x_{\text{up}}(n) = \begin{cases} x\left(\frac{n}{2}\right), & n \text{\ is\ even} \\ 0, & n \text{\ is\ odd} \end{cases}$ （其中odd表示奇数，even表示偶数）对应的Z-域表达为： $X_{\text{up}}(z) = X(z^2)$ 。在时间域中，上采样后会在信号的奇数位置插入 0。在频域中，这个过程会导致信号频谱的重复和混叠。

步骤一 —— 分解

输入信号 $X(z)$ 被分解为两个子带信号：低频信号 $X_L(z)$ 和高频信号 $X_H(z)$ 。

低频分量（通过低通滤波器 $H_0(z)$ 提取）： $X_L(z) = H_0(z)X(z)$
高频分量（通过高通滤波器 $H_1(z)$ 提取）： $X_H(z) = H_1(z)X(z)$

步骤二 —— 下采样

对分解后的信号进行下采样：

理论依据为下采样Z-域表达公式： $X_{\text{down}}(z) = \frac{1}{2}[X(z^{\frac{1}{2}}) + X(-z^{\frac{1}{2}})]$

对低频分量进行下采样：

$X_{down_{_L}}(z) = \frac{1}{2} \left[ H_0(z^{\frac{1}{2}}) X(z^{\frac{1}{2}}) + H_0(-z^{\frac{1}{2}}) X(-z^{\frac{1}{2}}) \right]$

对高频分量进行下采样：

$X_{down_{_H}}(z) = \frac{1}{2} \left[ H_1(z^{\frac{1}{2}}) X(z^{\frac{1}{2}}) + H_1(-z^{\frac{1}{2}}) X(-z^{\frac{1}{2}}) \right]$

步骤三 —— 上采样

重构前的上采样：

理论依据为上采样Z-域表达公式： $X_{\text{up}}(z) = X(z^2)$

对下采样后的低频分量进行上采样：

$X_{down-up_{_L}}(z) = \frac{1}{2} \left[ H_0(z) X(z) + H_0(-z) X(-z) \right]$

对下采样后的高频分量进行上采样：

$X_{down-up_{_H}}(z) = \frac{1}{2} \left[ H_1(z) X(z) + H_1(-z) X(-z) \right]$

步骤四 —— 重构

重构：

低频分量重构：

$\hat{X}_L(z) = G_0(z) \cdot \frac{1}{2} \left[ H_0(z) X(z) + H_0(-z) X(-z) \right]$

高频分量重构：

$\hat{X}_H(z) = G_1(z) \cdot \frac{1}{2} \left[ H_1(z) X(z) + H_1(-z) X(-z) \right]$

总的重构信号为：

$\hat{X}(z) =\hat{X}_L(z)+\hat{X}_H(z)\\= \frac{1}{2} \left[ H_0(z) G_0(z) + H_1(z) G_1(z) \right] X(z) + \frac{1}{2} \left[ H_0(-z) G_0(z) + H_1(-z) G_1(z) \right] X(-z)$

最后 —— 完美重构条件

原始信号频谱为 $X(z)$ ，所以要想完美重构（即 $\hat{X}(z) =X(z)$ ），需要满足以下条件：

频率保持条件

滤波器组在 $X(z)$ 上的频率保持性要求： $H_0(z)G_0(z) + H_1(z)G_1(z) = 2$

交调消除条件

消除 $X(-z)$ 分量的干扰： $H_0(-z)G_0(z) + H_1(-z)G_1(z) = 0$

这两个条件确保重构信号 $\hat{X}(z)$ 和输入信号 $X(z)$ 完全一致。

补充 —— 使用矩阵表示完美重构条件

分析调制矩阵

为了简化子带系统的数学表示，可以将滤波器组的关系写成矩阵形式：

$H_m(z) = \begin{bmatrix} H_0(z) & H_0(-z) \\ H_1(z) & H_1(-z) \end{bmatrix}$

分析阶段的输出可以表示为矩阵操作：

$\begin{bmatrix} X_L(z) \\ X_H(z) \end{bmatrix} = H_m(z) \begin{bmatrix} X(z) \\ X(-z) \end{bmatrix}$

合成滤波器的矩阵表达

类似地，合成滤波器组可以写为：

$\begin{bmatrix} G_0(z) & G_1(z) \end{bmatrix} \cdot H_m(z) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix}$

这确保信号重构的完整性和无误差。

合成滤波器的具体形式

通过矩阵运算，合成滤波器的设计可以推导为：

$\begin{bmatrix} G_0(z) \\ G_1(z) \end{bmatrix} = \frac{2}{\text{det}(H_m(z))} \begin{bmatrix} H_1(-z) \\ -H_0(-z) \end{bmatrix}$

其中：

$\text{det}(H_m(z)) = H_0(z)H_1(-z) - H_1(z)H_0(-z)$
滤波器的设计需要保证矩阵 $H_m(z)$ 的行列式非零。

4、完美重构滤波器组 (PCFB) 的特性

（1）完美重构滤波器组的交调特性 (Cross-Modulation)

公式

$\begin{bmatrix} G_0(z) \\ G_1(z) \end{bmatrix} = \frac{2}{\text{det}(H_m(z))} \begin{bmatrix} H_1(-z) \\ -H_0(-z) \end{bmatrix}$

$G_0(z)$ 和 $G_1(z)$ 是合成滤波器。
$H_0(z)$ 和 $H_1(z)$ 是分析滤波器。
$\text{det}(H_m(z))$ 是分析矩阵 $H_m(z)$ 的行列式，用于滤波器组的调制。

分析

交调关系：
- 合成滤波器 $G_0(z)$ 和 $G_1(z)$ 是分析滤波器 $H_1(-z)$ 和 $H_0(-z)$ 的交调版本。
- $G_0(z)$ 的系数来自 $H_1(-z)$ ，而 $G_1(z)$ 的系数来自 $H_0(-z)$ 。
有限脉冲响应 (FIR) 滤波器的行列式：对于 FIR 滤波器，行列式 $\text{det}(H_m(z))$ 表示纯延迟：

$\text{det}(H_m(z)) = \alpha z^{-(2k+1)}$

符号反转关系：当行列式中延迟项 $\alpha$ 被忽略时，合成滤波器的时间域表达为（就是频域关系作反变换）：

$g_0(n) = (-1)^n h_1(n)$

$g_1(n) = (-1)^{n+1} h_0(n)$

这表明合成滤波器与分析滤波器具有符号反转特性。

（2）完美重构滤波器组的双正交性 (Biorthogonality)

双正交性的定义

双正交性是分析滤波器和合成滤波器满足的一个关键约束，用于确保无失真信号重构。双正交性条件可表示为：

$<h_i(2n-k), g_j(k)> = \delta(i-j)\delta(n)$

$\delta(i-j)$ 表示正交性条件（当 $i \neq j$ 时结果为零）。
$\delta(n)$ 确保在时间延迟上没有失真。

低通滤波器的关系

分析滤波器 $H_0(z)$ 和合成滤波器 $G_0(z)$ 的乘积为：

$P(z) = G_0(z) H_0(z) = \frac{2}{\text{det}(H_m(z))} H_0(z) H_1(-z)$

类似地，高通滤波器的关系为：

$G_1(z) H_1(z) = P(-z)$

双正交性条件的推导

从完美重构条件 $G_0(z)H_0(z) + G_0(-z)H_0(-z) = 2$ 出发，结合逆 Z-变换：

$\sum_k g_0(k)h_0(n-k) + (-1)^n \sum_k g_0(k)h_0(n-k) = 2\delta(n)$

奇数索引项抵消，最终得到： $\sum_k g_0(k)h_0(2n-k) = \delta(n)$

（3）双正交滤波器的实现

双正交性的推广

对于所有 $i, j \in \{0, 1\}$ ，可以推广得到一般形式的双正交性关系：

$<h_i(2n-k), g_j(k)> = \delta(i-j)\delta(n)$

当 $i = j$ 时，分析滤波器和合成滤波器是正交的。
当 $i \neq j$ 时，滤波器之间互相正交。

时间域正交性

时间域中的滤波器脉冲响应也满足上述正交性条件，这是构造完美重构滤波器组的基础。

（4）例子：双正交滤波器家族

双正交样条滤波器

Cohen, Daubechies 和 Feauveau 提出了基于样条的双正交滤波器组，具有良好的信号重构性能。

Coiflet 滤波器

Tian 和 Wells 提出的 Coiflet 滤波器也是一种双正交滤波器组，广泛用于小波变换。

5、完美重构滤波器组的三种主要解决方案

（1）正交镜像滤波器 (Quadrature Mirror Filters, QMF)

核心思想是利用正交性条件来确保无失真重构。
滤波器的设计满足以下条件：
- $H_0(z)H_0^*(z) + H_0(-z)H_0^*(-z) = 2$ （幅值平方和约束）。
- 其他滤波器是 $H_0(z)$ 的符号反转或镜像版本： $H_1(z) = H_0(-z), \quad G_0(z) = H_0(z), \quad G_1(z) = -H_0(-z)$

（2）共轭正交滤波器 (Conjugate Quadrature Filters, CQF)

在 QMF 的基础上引入了相位修正以改善滤波器的性能。
滤波器设计公式：
- $H_0(z) \cdot H_0^*(z^{-1}) + H_0(-z) \cdot H_0^*(-z^{-1}) = 2$
- $H_1(z) = z^{-1}H_0^*(-z^{-1})$
- $G_0(z) = H_0(z^{-1})$ ， $G_1(z) = zH_0^*(-z^{-1})$

（3）正交滤波器 (Orthonormal Filters)

用于构造快速小波变换。
特点是分析滤波器和合成滤波器完全相同（正交性）。
滤波器组满足：
- $G_0(z) = H_0(z^{-1}), \quad G_1(z) = H_1(z^{-1})$
- 约束条件 $G_0(z)G_0(z^{-1}) + G_1(z)G_1(z^{-1}) = 2$

总结

每一种方案都满足双正交性要求，但设计方法和性能优化方向不同。
QMF 简单直接，但滤波效果有限；CQF 改善了性能，而正交滤波器更适合多分辨率分析。

6、二维子带滤波器(Two-Dimensional Subband Filters)

（1）二维可分离滤波器的设计

将完美重构滤波器组的三种主要解决方案中的一维滤波器扩展为二维，可以处理图像信号。

采用分离滤波器的方式：

首先对图像的行进行滤波（水平方向）。
然后对图像的列进行滤波（垂直方向）。

（2）子带分解结构

图 7.5 展示了一个四分解结构：

使用低通滤波器 $h_0$ 和高通滤波器 $h_1$ 分别对行和列进行滤波。

每次滤波后进行下采样，形成四个子带：

$a(m, n)$ ：低频分量（Approximation）。
$d^V(m, n)$ ：垂直高频分量（Vertical Detail）。
$d^H(m, n)$ ：水平高频分量（Horizontal Detail）。
$d^D(m, n)$ ：对角线高频分量（Diagonal Detail）。

（3）进一步分解

低频子带 $a(m, n)$ 可以进一步分解，形成金字塔式的多分辨率表示。
每一层分解都将图像分为四个更小的子带。

7、完美重构滤波器组 (PCFB) 的实例

（1）Daubechies 滤波器的冲激响应

图 7.6 显示了 Daubechies 滤波器的 8-tap 冲激响应：
- $h_0(n)$ ：低通分析滤波器。
- $h_1(n)$ ：高通分析滤波器。
- $g_0(n)$ ：低通合成滤波器。
- $g_1(n)$ ：高通合成滤波器。
这些滤波器满足正交性和完美重构条件。

（2）四分解图像的例子

图 7.7 展示了对一个花瓶图像进行四分解的结果：

左上角是低频分量，表示图像的主要信息。
其他三个子带分别表示垂直、水平和对角线细节。

8、哈尔小波变换 (Haar Transform)（待续）

（1）Haar 小波简介

Haar 小波是最简单的正交小波，由 Haar 在 1910 年提出。

Haar 小波的特性：

正交性：分析滤波器和合成滤波器是相同的。
分离性：既可以表示为分离滤波器，也可以表示为变换矩阵。
简单性：每个滤波器仅包含两个非零系数。

Haar 变换矩阵：

Haar 变换矩阵 $H$ 的表达式： $T = HFH^T$ 其中：

$F$ 是图像数据的矩阵。
$H$ 是 Haar 变换矩阵。
$T$ 是变换后的系数矩阵。

Haar 基函数：

Haar 基函数定义在区间 $[0, 1]$ ，形式如下：

$h_k(z) = \frac{1}{\sqrt{N}} \begin{cases} 2^{p/2}, & (q-1)/2^p \leq z < (q-0.5)/2^p \\ -2^{p/2}, & (q-0.5)/2^p \leq z < q/2^p \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

其中 $p$ 和 $q$ 表示小波的尺度和位置。

当 $N = 8$ 时，Haar矩阵 $H_8$ 为：

$H_8 = \frac{1}{\sqrt{8}} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ 2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix}$

待续。。。

二、多分辨率展开

（1）概述

多分辨率分析（MRA）通过**尺度函数（Scaling Function）**对信号或图像进行一系列的近似。

任意信号 $f(x)$ 可以表示为一组展开函数 $\phi_k(x)$ 的线性组合： $f(x) = \sum_k a_k \phi_k(x)$ 其中：

$a_k$ 是系数。
$\phi_k(x)$ 是基函数。

如果展开是唯一的，则：
- $\phi_k(x)$ 称为基函数（Basis Function）。
- 基函数集合 $\{ \phi_k(x) \}$ 形成了一个函数空间 $V$ 的基。
该函数空间被称为闭包空间，记为： $V = \text{Span}\{\phi_k(x)\}$

（2）展开系数计算

对于任何函数空间 $V$ ，可以通过对偶函数 $\tilde{\phi}_k(x)$ 计算展开系数：

$a_k = \langle \tilde{\phi}_k(x), f(x) \rangle = \int \tilde{\phi}_k^*(x) f(x) dx$

三种情况

正交基 (Orthogonal Basis)
- 当展开函数形成正交基时： $\langle \phi_j(x), \phi_k(x) \rangle = \delta_{jk}$ 系数计算简化为： $a_k = \langle \phi_k(x), f(x) \rangle$
双正交基 (Biorthogonal Basis)
- 如果展开函数不正交，但构成一个正交基，则有： $\langle \phi_j(x), \phi_k(x) \rangle \neq 0, \quad j \neq k$ 对偶函数 $\tilde{\phi}_k(x)$ 满足： $\langle \phi_j(x), \tilde{\phi}_k(x) \rangle = \delta_{jk}$ 系数为： $a_k = \langle \tilde{\phi}_k(x), f(x) \rangle$
框架 (Frames)
- 如果函数集合是一个过完备系统，则形成框架，满足： $A \|f(x)\|^2 \leq \sum_k |\langle \phi_k(x), f(x) \rangle|^2 \leq B \|f(x)\|^2$ 若 $A = B$ ，则称为紧框架 (Tight Frame)。

对偶函数详细介绍在附录1

（3）多分辨率展开中的尺度函数 (Scaling Function)

定义

尺度函数通过整数平移和二进制缩放定义为：其中：
- $j$ 控制函数的宽度（尺度）。
- $k$ 控制函数的位置。
- $2^{j/2}$ 调整振幅。

空间子集

由一组尺度函数 $\{\phi_{j,k}(x)\}$ 生成的空间 $V_j$ ： $V_j = \text{Span}\{\phi_{j,k}(x)\}$
当 $j$ 增大时， $V_j$ 包含更多的细节信息，能够描述更小的变化。

（4）Haar尺度函数

Haar尺度函数

Haar尺度函数 $\phi(x)$ 定义为： $\phi(x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

Haar子空间

图中展示了不同尺度下的 Haar 尺度函数：
- $\phi(x)$ 是 $V_0$ 的基函数。
- $V_0$ 和 $\phi(2x - 1)$ 是 $V_1$ 的基函数。
- 随着尺度增加，基函数越来越窄，描述更高分辨率。

哈尔尺度函数图示

（a）图是 $\phi_{0,0}(x)$
（b）图是 $\phi_{0,1}(x)$
（c）图是 $\phi_{1,0}(x)$
（d）图是 $\phi_{1,1}(x)$
（e）图是 $\frac{1}{2}\phi_{1,0}(x)+\phi_{1,1}(x)-\frac{1}{4}\phi_{1,4}(x)$
（f）图是 $\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_{1,0}(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}\phi_{1,1}(x)$

（5）多分辨率分析的四个基本要求

核心内容：

多分辨率分析（MRA）的核心理论由 Mallat 在 1989 年提出，基于尺度函数 $\phi(x)$ 和小波函数 $\psi(x)$ 。

四个基本要求：

尺度函数的整数平移是正交的：
- 如 Haar 尺度函数具有紧支撑（Compact Support），即其定义域有限。
- 当尺度函数的支撑范围增大时，满足整数平移正交性会变得更复杂。
低尺度子空间嵌套于高尺度子空间：
- 子空间嵌套关系： $V_{-\infty} \subset \cdots \subset V_{-1} \subset V_0 \subset V_1 \subset \cdots \subset V_{\infty}$ 。
- 低尺度子空间捕捉信号的大尺度信息，高尺度子空间捕捉细节。
唯一公共函数： $f(x) = 0$ 是所有子空间的唯一公共函数。
任意函数可以被任意精度逼近：
- $V_\infty = L^2(R)$ ，表示所有平方可积函数可以用 MRA 表示。

（6）尺度函数的系数与细化方程

尺度函数分解公式：

子空间 $V_j$ 的尺度函数 $\phi_{j,k}(x)$ 可以通过高一级子空间 $V_{j+1}$ 的尺度函数加权表示： $\phi_{j,k}(x) = \sum_n h_\phi(n) 2^{(j+1)/2} \phi(2^{j+1}x - n)$
这里 $h_\phi(n)$ 是尺度函数系数，满足细化方程 (Refinement Equation)： $\phi(x) = \sum_n h_\phi(n) \sqrt{2} \phi(2x - n)$

意义：

细化方程是 MRA 的核心工具，它表明任何子空间的尺度函数可以用高分辨率子空间的函数线性组合表示。
通过尺度函数系数 $h_\phi(n)$ ，可以递归地构造更高或更低分辨率的尺度函数。

例子：Haar 尺度函数的例子

Haar 尺度函数是一种简单的矩形函数，其细化方程系数 $h_\phi(0) = h_\phi(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 。
Haar 细化方程： $\phi(x) = \phi(2x) + \phi(2x - 1)$
Haar 尺度函数是所有小波变换的基础，也是最简单的多分辨率分析工具。

（7）小波函数的定义与子空间分解

小波函数 $\psi(x)$ 是多分辨率分析的核心，用于捕捉相邻尺度子空间 $V_j$ 和 $V_{j+1}$ 之间的细节： $\psi_{j,k}(x) = 2^{j/2} \psi(2^j x - k)$
小波函数的关键作用是补充尺度函数，构成正交分解的完整性： $V_{j+1} = V_j \oplus W_j$ 其中 $W_j$ 是正交补空间，由小波函数生成。
意义：小波函数用于描述信号的高频部分，如边缘、细节信息。

（8）尺度子空间与小波子空间的关系

尺度函数的子空间 $V_j$ 和小波函数的子空间 $W_j$ 的关系： $L^2(R) = V_j \oplus W_j \oplus W_{j+1} \oplus \cdots$
这里 $\oplus$ 表示正交分解，意味着信号可以分解为一组正交的尺度和细节部分。
意义：这种分解方式提供了信号的多尺度表示，是图像压缩、降噪和分解的重要工具。

（9）小波函数的细化方程

由于小波空间位于下一个更高分辨率尺度函数所跨越的空间内，因此任何小波函数也可以表示为移位的双分辨率尺度函数的加权和，小波函数也满足类似于尺度函数的细化方程： $\psi(x) = \sum_n h_\psi(n) \sqrt{2} \phi(2x - n)$ 这里 $h_\psi(n)$ 是小波函数系数，通常通过对尺度函数系数 $h_\phi(n)$ 的变换获得： $h_\psi(n) = (-1)^n h_\phi(2k - 1 - n)$
意义：细化方程提供了从尺度函数构造小波函数的直接方法，保证了小波函数与尺度函数之间的数学关系。

（10）Haar 小波函数的例子

Haar 小波函数的系数计算： $h_\psi(n) = (-1)^n h_\phi(2k - 1 - n)$
Haar 小波函数： $\psi_{j,k}(x) = 2^{j/2} \psi(2^j x - k)$ $\psi(x) = \phi(2x) - \phi(2x - 1)= \begin{cases} 1, & 0 \leq x < 0.5 \\ -1, & 0.5 \leq x < 1 \\ 0, & \text{others} \end{cases}$
意义：Haar 小波函数的例子展示了如何从尺度函数生成小波函数，并通过简单的矩形函数实现信号的分解。

图示分析：

（a）图是 $\psi_{0,0}(x)$

（b）图是 $\psi_{0,2}(x)$

（c）图是 $\psi_{1,0}(x)$

？？？

三、一维小波变换

1、小波变换的定义与一维应用

小波变换的基本形式：
- 一维函数的小波分解形式为：
  - $c_{j_0}(k)$ ：逼近系数（Scaling Coefficients），与尺度函数 $\phi(x)$ 相关。
  - $d_j(k)$ ：细节系数（Wavelet Coefficients），与小波函数 $\psi(x)$ 相关。
正交基下系数计算：
- 逼近系数： $c_{j_0}(k) = \int f(x) \phi_{j_0,k}(x) dx$
- 细节系数： $d_j(k) = \int f(x) \psi_{j,k}(x) dx$

应用意义：

小波分解可以将信号表示为逐层细化的逼近部分（低频信息）和细节部分（高频信息），从而有效分析信号的多尺度特性。

2、Haar 小波变换的示例

函数 $y = x^2$ 的 Haar 小波分解：
- 用 Haar 尺度函数 $\phi(x)$ 和小波函数 $\psi(x)$ 计算对应的逼近系数和细节系数： $c_0(0), \quad d_0(0), \quad d_1(0), \quad d_1(1)$ 这些系数通过积分计算得到。
分解结果的可视化：
- 不同分辨率下的子空间 $V_0, W_0, V_1, W_1$ 被表示为阶梯函数，逐层细化地逼近原函数 $y = x^2$ 。

应用意义：

Haar 小波的例子展示了如何通过简单的分段常值函数逐步逼近原函数。

3、离散小波变换 (DWT)

离散信号的 DWT 表示：

将离散信号 $f(x)$ 表示为一组系数 $W_\phi(j_0, k)$ 和 $W_\psi(j, k)$ ： $W_\phi(j_0, k) = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_x f(x) \phi_{j_0,k}(x)$ $W_\psi(j, k) = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_x f(x) \psi_{j,k}(x)$

离散小波的逆变换：

使用这些系数重建原信号： $f(x) = \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_k W_\phi(j_0, k) \phi_{j_0,k}(x) + \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{j=j_0}^\infty \sum_k W_\psi(j, k) \psi_{j,k}(x)$

应用示例：

对离散信号 $f = \{1, 4, -3, 0\}$ 使用 Haar 小波函数，计算 $W_\phi(0,0), W_\psi(0,0), W_\psi(1,0), W_\psi(1,1)$ ，并重构原信号。

重建原信号：

应用意义：

DWT 是实际信号处理中广泛使用的工具，特别是在图像压缩（如 JPEG2000）和降噪中。

4、连续小波变换 (CWT)

定义：

连续信号的 CWT 是其与一族小波函数的内积：
- $s$ ：尺度参数（控制分辨率）。
- $\tau$ ：平移参数（控制位置）。

CWT 的逆变换：

根据 CWT 系数重建原信号：
- $C_\psi$ 是归一化常数，与小波函数的傅里叶变换相关。

应用意义：

CWT 可以提供信号的时频局部化信息，特别适合分析非平稳信号。

5、CWT 与 DWT 的对比

核心内容：

参数区别：
- CWT 中的平移参数 $\tau$ 和尺度参数 $s$ 是连续的。
- DWT 中的平移 $k$ 和尺度 $j$ 是离散的。
表达能力：
- CWT 可以提供信号的连续时频表示，但数据量大且计算复杂。
- DWT 提供紧致、高效的信号分解，但分辨率有限。

应用意义：

CWT 更适合精确分析，而 DWT 在实际应用中更高效。

6、墨西哥帽小波的例子

墨西哥帽小波的定义：

墨西哥帽小波是高斯函数的二阶导数： $\psi(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} (\pi^{-1/4}) (1-x^2) e^{-x^2/2}$

性质：

对称性。
零平均值，紧支撑。
满足连续小波的可逆条件。

应用示例：

将信号分解为两个墨西哥帽小波的叠加： $f(x) = \psi_{1,10}(x) + \psi_{6,80}(x)$
分析信号的频率与时间局部化特性。

应用意义：

墨西哥帽小波常用于连续信号的时频分析，特别是寻找信号中的特征（如尖峰或变化点）。

四、快速小波变换

1、快速小波变换 (Fast Wavelet Transform, FWT)

核心内容：

定义与目标：
- 快速小波变换是一种高效实现离散小波变换 (DWT) 的方法。
- 它利用了 Mallat 提出的“鱼骨算法”（Herringbone Algorithm），通过 DWT 系数在相邻尺度上的关系，大幅减少计算复杂度。
多分辨率细化方程：
- 基于尺度函数的细化方程： $\phi(x) = \sum_n h_\phi(n) \phi(2x - n) \sqrt{2}$
- 通过平移和缩放，将变量替换后，得： $\phi(2^j x - k) = \sum_m h_\phi(m - 2k) \sqrt{2} \phi(2^{j+1}x - m)$

意义：

FWT 利用递归的方式，将低分辨率的尺度函数表示为高分辨率的尺度函数线性组合，从而实现高效计算。

2、小波函数与系数计算的递归公式

核心内容：

小波函数的递归表达：
- 小波函数满足类似的递归表达式： $\psi(2^j x - k) = \sum_m h_\psi(m - 2k) \sqrt{2} \phi(2^{j+1}x - m)$
系数计算公式：
- 小波系数 $W_\psi(j,k)$ 的计算递归关系： $W_\psi(j,k) = \sum_m h_\psi(m - 2k) W_\phi(j+1, m)$
- 尺度系数 $W_\phi(j,k)$ 的计算递归关系： $W_\phi(j,k) = \sum_m h_\phi(m - 2k) W_\phi(j+1, m)$

应用意义：

通过递归公式，FWT 实现了在任意尺度上高效地计算尺度系数和小波系数。

3、Mallat 算法与滤波器组实现

核心内容：

滤波器组实现：
- Mallat 算法将尺度系数和小波系数的递归计算形式化为滤波器组操作：
  - $h_\phi(-n)$ ：低通滤波器。
  - $h_\psi(-n)$ ：高通滤波器。
下采样过程：
- 每一级计算后，将滤波器输出信号进行 2:1 下采样（仅保留偶数索引的值）。
图示分析：
- 图示展示了通过滤波器组逐级分解信号的过程，生成高频和低频分量。

应用意义：

滤波器组实现将数学递归公式转化为实际的数字信号处理流程，是实现快速小波变换的核心。

4、Mallat 算法的分层结构

核心内容：

多级分解：
- Mallat 算法支持多级分解，通过迭代滤波器组，将信号逐级分解为低频与高频成分： $V_j \to V_{j-1} + W_{j-1}, \quad V_{j-1} \to V_{j-2} + W_{j-2}, \cdots$
频谱划分：
- 每一级的高频和低频信号对应原始信号的不同频谱区域。
- 最终的多级分解提供了一个分层的频谱分析。

意义：

Mallat 算法的分层结构能够在多尺度上捕捉信号的细节和整体趋势，为压缩和降噪提供了数学基础。

5、两级快速小波变换的示例

（1）理论框架

（3）haar小波的示例计算：

给定信号序列，使用 Haar 小波计算其两级分解：
- 第一级：计算 $W_\phi(1,n)$ 和 $W_\psi(1,n)$ 。
- 第二级：在第一级的基础上进一步分解低频信号 $W_\phi(1,n)$ 为 $W_\phi(0,n)$ 和 $W_\psi(0,n)$ 。

（3）具体步骤：

对 $f(n)$ 应用低通滤波和高通滤波后分别下采样，得到第一级的高频和低频分量。
重复上述过程，计算更低一级的分量。

（4）图示说明：

图示清晰地展示了逐级分解的滤波与下采样过程，以及如何通过递归获得不同尺度的系数。

（5）应用意义：

两级快速小波变换的示例直观展示了 Mallat 算法的工作原理，说明了如何从简单信号中提取多尺度信息。

6、快速小波变换的多级结构与频率划分

核心内容：

滤波器的迭代：
- 滤波器组结构可以多次迭代，将信号逐级分解为多个频段。
- 每一级都包含高频分量（细节）和低频分量（趋势）。
频率划分：
- 图示展示了每一级分解的频率范围：
  - $W_{j-1}$ 包含较高频段。
  - $W_{j-2}$ 包含中频段。
  - $V_{j-2}$ 包含最低频段。

应用意义：

快速小波变换的多级结构允许对信号进行分层频率分析，是语音处理、图像压缩等应用的关键步骤。

7、逆快速小波变换（IFWT）

（1）完美重构条件

IFWT需要满足完美重构条件，即两带正交滤波器的要求。
FWT分析滤波器为 $h_0(n) = h_\phi(-n)$ 和 $h_1(n) = h_\psi(-n)$ 。
对应的逆FWT滤波器是： $g_0(n) = h_0(-n) = h_\phi(n), \quad g_1(n) = h_1(-n) = h_\psi(n)$
逆FWT滤波器框架的结构如图所示，显示了对上采样的计算操作。

数学公式：

逆FWT的滤波器实现为： $W_\phi(j+1, k) = h_\phi(k) \ast W_\phi^{\text{up}}(j, k) + h_\psi(k) \ast W_\psi^{\text{up}}(j, k)$ 其中， $W^{\text{up}}$ 表示上采样操作。

解析：

逆FWT的目标是从分解的小波系数 $W_\phi$ 和 $W_\psi$ 重构原始信号 $f(x)$ 。
重构过程中，上采样用于恢复分解时丢失的时间分辨率，滤波器作用于不同频段。

（2）逆快速小波变换的迭代结构

逆滤波器组的迭代：
- 类似于前向FWT的迭代结构，逆滤波器组也可以通过多层结构实现。
- 每一层中，计算从细节系数和低频系数重构信号。
图示：
- 图中展示了多级逆滤波的迭代过程，其中每一级的重构依赖于下一级细节和逼近信号。

解析：

迭代的过程能够重构原信号的多分辨率表示。低频分量提供了信号的全局近似，细节分量补充了高频信息。
迭代结构强调了逆FWT的分层特性。

（3）逆快速小波变换的计算示例

计算步骤：
- 图中以Haar小波为例，通过给定的细节系数 $W_\psi$ 和低频系数 $W_\phi$ ，逐步完成逆向重构。
- 计算流程包括：
  1. 上采样操作：将系数扩展至原信号长度。
  2. 滤波操作：使用重构滤波器 $h_\phi(n)$ 和 $h_\psi(n)$ 。
  3. 重构：将各层的结果相加以获得最终信号。
图示：
- 图中详细展示了不同层级的系数操作，包括上采样、卷积、相加等。

解析：

通过示例说明了逆FWT的具体实现步骤和重构过程。
低频分量和高频分量逐级整合，恢复了原始序列 $f(n) = \{1, 4, -3, 0\}$ 。

8、FWT与FFT的差异

数学复杂度：
- 快速傅里叶变换（FFT）的复杂度为 O(Mlog⁡M)，而快速小波变换（FWT）的复杂度为 O(M)，其中 $M = 2^j$ 为输入信号的长度。因此，FWT在某些场景下更高效。
基础函数差异：
- FFT 基于正弦波（傅里叶基），它是全局支持的（在整个时间域内都有值）。
- FWT 基于小波函数，它是局部支持的（值集中在某些区域），因此能同时处理时间和频率特性。
时间-频率分辨率：
- FWT 的优势是可以分析信号的时间和频率信息，而 FFT 只能在频域内表征。
应用场景：
- FWT 适合于非平稳信号（如瞬时事件、边缘检测等），FFT 适合分析周期性或平稳信号。

9、小波工具箱（Wavelet Toolbox）

小波工具箱提供了多种小波的实现和功能支持，用户可以通过 wfilt 函数加载相关滤波器，如：
```
[Lo_D, Hi_D, Lo_R, Hi_R] = wfilters(wname)
```
- Lo_D：低通分解滤波器。
- Hi_D：高通分解滤波器。
- Lo_R：低通重构滤波器。
- Hi_R：高通重构滤波器。
表中的小波分类：
- Haar 小波（'haar'）：最简单的小波，通常用作教学或示例。
- Daubechies 小波（'dbN'）：具有紧支撑的正交小波，适合信号分析。
- 双正交小波（'bior'）：适合图像压缩等应用。

五、二维小波变换

1、连续二维小波变换

二维小波变换的基础定义：

二维函数（如图像）上的小波变换可以通过一维小波变换的推广实现。
二维尺度函数： $\phi(x, y) = \phi(x)\phi(y)$ 表示对 x 和 y 分量的独立处理。
方向敏感的小波函数： $\psi^H(x, y) = \psi(x)\phi(y),$ $\quad \psi^V(x, y) = \phi(x)\psi(y),$ $\quad \psi^D(x, y) = \psi(x)\psi(y)$ 分别代表水平、垂直和对角方向上的小波。

二维小波变换的基函数定义：

其中 j 表示尺度，m, n 是平移参数。

尺度基函数： $\phi_{j,m,n}(x, y) = 2^{j/2}\phi(2^j x - m, 2^j y - n)$
小波基函数： $\psi^i_{j,m,n}(x, y) = 2^{j/2}\psi^i(2^j x - m, 2^j y - n), \quad i \in \{H, V, D\}$

2、离散二维小波变换

二维离散小波变换的公式：

尺度系数（Approximation Coefficients）： $W_\phi(j_0, m, n) = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{M-1} f(x, y)\phi_{j_0, m, n}(x, y)$
小波系数（Detail Coefficients）： $W^i_\psi(j, m, n) = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{M-1} f(x, y)\psi^i_{j, m, n}(x, y), \quad i \in$ $\{H, V, D\}$

二维逆离散小波变换（Inverse DWT）：

通过合成尺度和小波系数重建原始函数： $f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{MN}} \sum_{m=0}^{M-1}\sum_{n=0}^{N-1} W_\phi(j_0, m, n)\phi_{j_0, m, n}(x, y) + \dots$ 其中，后续部分由各方向的小波系数加权的小波基函数线性叠加。

3、二维快速小波变换的计算

（a）分析滤波器族
（b）分解结果
（c）综合滤波器族

二维快速小波变换的计算步骤：
- 二维变换的实现：
  - 将二维小波变换分解为两步：
    1. 对矩阵的每一行进行一维小波变换。
    2. 对结果矩阵的每一列再进行一维小波变换。
- 分析滤波器（Analysis Filter Bank）：
  - 通过低通（尺度函数）和高通（小波函数）滤波器对输入数据进行逐层分解。
  - 分别产生：
    - 水平小波系数 WψHW^H_\psiWψH
    - 垂直小波系数 WψVW^V_\psiWψV
    - 对角小波系数 WψDW^D_\psiWψD
- 合成滤波器（Synthesis Filter Bank）：
  - 通过逆变换和滤波器的组合，恢复原始信号。
结果矩阵的分解：
- 变换结果的可视化：
  - 分解后的矩阵被划分为 4 个区域，分别对应：
    - 低频部分（Approximation LL）
    - 水平细节（Horizontal LH）
    - 垂直细节（Vertical HL）
    - 对角细节（Diagonal HH）

4、二维小波变换示例

（1）图像中的二维快速小波变换（2D FWT）

图7.23（使用Symlet小波的三尺度FWT分解）展示了一个二维图像经过三层快速小波变换后的分解结果：

左上角：低频近似分量，表示原始图像的整体轮廓和低频信息。
其他部分：包括三个方向（水平、垂直和对角线）的高频细节分量。这些分量揭示了图像在这些方向上的边缘和纹理信息。
不同尺度：每个尺度都包含一组近似分量和三个高频分量（水平、垂直、对角线）。通过逐步分解，图像的细节会更清晰地被捕捉。

意义：FWT将图像分解成不同频带的分量，从而实现空间与频率信息的分离，适用于图像压缩、特征提取等任务。

（2）Symlet小波的缩放函数和小波函数

图7.24详细展示了Symlet小波的基本特性：

图7.24（a-d）：描述了降采样和重构使用的滤波器：
- $h_0(n)$ 和 $h_1(n)$ ：分析阶段滤波器。
- $g_0(n)$ 和 $g_1(n)$ ：对应的重构滤波器。
图7.24（e-g）：展示了Symlet小波的缩放函数（φ）和小波函数（ψ）在一维和二维的表现：
- （f）一维小波函数（ψ）：用于捕获图像的细节。
- （f）一维缩放函数（φ）：用于获取低频近似信息。
- （g）二维小波函数（ψ）：用于捕获图像的细节，包括水平（H）、垂直（V）和对角线（D）的纹理信息。

三维图形（图7.24右下）：展示了二维小波函数的特性，将一维的φ(x)和ψ(y)分别结合，用以捕捉图像的方向敏感性。

（3）二维小波在边缘检测中的应用

图7.25展示了利用DWT（离散小波变换）进行边缘检测的效果：

高频分量提取：
- 高频分量保留了图像中快速变化的部分（如边缘和纹理），而低频部分被抑制。
- 图像的水平和垂直边缘分别通过高频分量被提取。
高通滤波：
- 图中标注的“高通”部分表明提取高频信息的步骤，通过删除不需要的系数，保留图像边缘。

这种方法适用于边缘增强和边缘检测，特别是在计算机视觉领域。

（4）二维小波在去噪中的应用

图7.26展示了在医学图像（如MRI）中使用DWT进行噪声抑制的过程：

原始图像（a）：显示了原始有噪声的MRI图像。
去噪过程：
- 通过对小波变换后的高频系数施加阈值处理，可以去除高频噪声。
- 低频分量保留了图像的主要信息，而高频噪声被抑制。
结果（e, f）：
- 去噪后的图像显示出更清晰的结构，同时噪声显著减少。
- 阈值处理后的差值图展示了被移除的噪声部分。

应用意义：DWT的去噪能力在医学成像和其他图像处理任务中非常重要，尤其是在提高图像质量和保持关键结构方面。

六、小波分解结构（略）

略

七、二维小波逆变换

图中展示了二维小波逆变换的滤波器结构。此变换的目标是从小波分解系数中恢复原始图像。

核心组件：

升采样（Upsampling by 2）：
- 每个小波系数先进行升采样，即在每两个值之间插入一个零。
滤波器应用：
- 升采样后的系数经过水平和垂直方向的滤波器，分别是 $h_\phi(m)$ （低通滤波器）和 $h_\psi(m)$ （高通滤波器）。
重组（Summation）：
- 在水平和垂直方向上分别完成滤波后，将分量加在一起，最终重构出 $W_\phi(j+1, m, n)$

分解的部分：

$W_\phi(j, m, n)$ ：表示尺度函数系数。
$W_\psi^{H}(j, m, n)$ 、 $W_\psi^{V}(j, m, n)$ 、 $W_\psi^{D}(j, m, n)$ ：分别是水平、垂直和对角方向的小波细节系数。

重构过程总结：

通过将不同方向的小波系数进行升采样、滤波和叠加，可以逐步恢复到原始图像。

八、图像处理中的小波

1、小波在图像处理中的基本方法

内容：
- 图像处理中的小波变换主要步骤：
  1. 对图像进行二维小波变换（2D FWT）。
  2. 修改小波变换系数（如阈值化、剪裁等操作）。
  3. 通过逆小波变换重建图像。
分析：
- 小波变换可以分解图像的频率信息，低频分量代表主要的图像信息，高频分量对应图像的细节和边缘。
- 修改系数后进行逆变换，可以完成降噪、边缘提取或压缩等操作。

2、边缘检测

（1）边缘检测代码

内容：

MATLAB实现：

f = imread('Fig0707(a).tif');       % 读取图像
[c, s] = wavefast(f, 1, 'sym4');    % 使用 Symlet 小波进行 1 级分解
nc = wavecut('a', c, s);            % 修改系数
edges = abs(waveback(nc, s, 'sym4')); % 通过逆变换得到边缘

核心方法是保留高频分量（边缘信息），通过逆变换重建边缘。

分析：
- 小波变换的多分辨率特性使其对边缘检测非常高效：细节分量（水平、垂直、对角方向的高频分量）直接代表边缘特征。
- 边缘检测中关键在于准确处理小波系数，通常通过对低频分量置零，仅保留高频分量来完成。

（2）边缘检测示例

内容：
- 示例图展示了边缘检测的效果：
  1. 原始图像；
  2. 小波变换后的图像；
  3. 删除低频分量后的小波变换；
  4. 逆变换后得到的边缘图像。
分析：
- 高频分量（如细节信息）在图像中呈现为明显的线条，保留这些分量并逆变换后即可得到图像的边缘。
- 适用于各种模式的边缘检测（如文字、图形等结构化信息）。

3、平滑与模糊

（1）平滑与模糊代码

内容：

MATLAB实现：

[c, s] = wavefast(f, 4, 'sym4');    % 进行 4 级分解
[c, g8] = wavezero(c, s, 1, 'sym4'); % 删除第一级细节系数

删除不同层次的高频分量（细节系数），逐步实现图像的平滑处理。

分析：
- 高频系数控制模糊程度：删除第一层细节系数，保留更多低频分量，图像仅有轻微模糊；删除更多层的细节系数，图像模糊加剧。
- 小波平滑在降噪和背景模糊中具有重要应用，尤其适合对噪声图像进行去噪处理。

（2）平滑与模糊示例

内容：
- 图像经过多层小波分解后，逐步删除不同层的高频分量，并重构：
  - (c) 删除第1层高频分量后的图像。
  - (d) 删除第2层高频分量后的图像。
  - (e) 删除第3层高频分量后的图像。
  - (f) 删除第4层高频分量后的图像。
分析：
- 从示例图可看出，随着高频分量的删除，图像变得越来越模糊。第1层高频分量对图像的细节影响最大，第4层影响较小。
- 这表明小波变换对图像平滑和模糊处理的分辨率可控性较高。

4. 渐进式重构

（1）渐进式重构代码

内容：

MATLAB实现：

[c, s] = wavefast(f, 4, 'jpeg9.7');   % 4级分解
f = wavecopy('a', c, s);             % 提取低频分量
f = waveback(c, s, 'jpeg9.7', 1);    % 渐进式还原

通过逐步加入细节分量（高频分量），实现从低分辨率到高分辨率的渐进式图像重构。

分析：
- 小波分解后的低频分量代表图像的大致轮廓，逐步加入高频分量后，图像细节逐步增强。
- 渐进式重构在图像传输和压缩中尤为重要，可用于低带宽下的渐进式加载或预览。

（2）渐进式重构示例

内容：
- 图像分解后，展示从低分辨率到高分辨率的重构过程：
  - (a) 仅使用低频分量的重构。
  - (b)-(f) 随着高频分量的逐步加入，图像分辨率逐步提高，细节逐步丰富。
分析：
- 示例展示了小波变换在分层重构中的强大能力，尤其适合于分辨率逐步提升的应用场景（如分层编码、逐步显示）。

5、总结

图像处理中的小波变换：

小波变换可以有效分离图像中的低频信息（主要轮廓）和高频信息（细节或边缘）。
不同层次的小波分量可以通过选择性修改来实现各种处理任务，如去噪、模糊、边缘检测和压缩。

应用：

边缘检测：通过保留高频分量提取边缘信息。
去噪与模糊：通过删除高频分量实现平滑或降噪。
渐进式重构：适用于图像分层编码和低带宽传输场景。

小波选择：

使用合适的小波（如 Symlet 或 Haar）对于图像处理性能影响显著。Symlet 更适合平滑和边缘检测，而 Haar 更适合快速分析。

九、小波包

1、Wavelet Packet 分解的动机

背景：快速小波变换(FWT)将信号分解为对数相关的频率带，低频部分分组为较窄的带宽，高频部分分组为较宽的带宽。
问题：FWT的固定分解策略对一些特定应用的时间-频率分析能力有限。
解决方案：引入小波包(Wavelet Packet)，提供对时间-频率平面的更灵活分割方案，以便根据特定需求更精细地分析信号。

2、Subspace Analysis Tree (子空间分析树)

结构：小波变换的多尺度结构可以通过树状结构表示。
根节点：表示最高尺度的近似系数，它是信号本身的采样。
叶子节点：表示信号的不同细节分量或近似分量。
分析树的特点：
- 紧凑：占用空间较少。
- 信息丰富：直观展示信号的多尺度分解结果。
- 验证便捷：便于检验分解的有效性。

3、三尺度分析树 (Three-scale Analysis Tree)

分解策略：提供了以下三种扩展方式：
- $V_J = V_{J-1} \oplus W_{J-1}$
- $V_J = V_{J-2} \oplus W_{J-2} \oplus W_{J-1}$
- $V_J = V_{J-3} \oplus W_{J-3} \oplus W_{J-2} \oplus W_{J-1}$
应用：
- 信号分解的模块化表示。
- 多尺度频谱特征的进一步细化，支持更高效的时间-频率分析。

4、Wavelet Packet Tree (小波包树)

概念：小波包分析将细节部分递归分解，以扩展常规小波变换的时间-频率分辨率。
三尺度小波包树结构：
- 每一层节点表示信号分量（近似或细节）的进一步分解。
- 支持的分解数量：例如，图7.29的三尺度小波包树支持26种不同分解。
特点：
- 小波包分解为时间-频率分析提供了更大灵活性。
- 每个子空间的分解组合允许生成定制化的信号分析路径。

5、Wavelet Packet Three (小波包三分解)

提供了多种频率划分的可能性，例如：
- $V_J = V_{J-3} \oplus W_{J-3} \oplus W_{J-2,A} \oplus \cdots$
- $V_J = V_{J-1} \oplus W_{J-1,D} \oplus \cdots$
支持更精细的信号分割，例如公式 $D(P+1) = [D(P)]^2 + 1$ 表示可支持的唯一分解数量。

6、三尺度全小波包分析树

频谱特性：
- 提供了从低频到高频的分段频谱划分。
- 每个节点表示不同频段的信号能量。
信号分析示例：通过滤波器的全连接分解，构建三尺度小波包分析树，从而实现高效的多分辨率频谱分析。

7、二维小波包树

概念：
- 通过二维四带滤波器组，将信号分解为近似系数和多个方向的细节系数（如水平方向、垂直方向、对角线方向）。
特点：
- 可迭代地生成 P 尺度的分解，用于图像分割或模式识别等。
扩展支持：二维小波包树的唯一分解数量为 $D(P+1) = [D(P)]^4 + 1$ 。

8、三尺度二维小波包树

分解选项：支持大量可能的分解路径。
应用：
- 高效算法（如基于熵的准则）用于选择最优分解路径。
- 在图像处理和模式识别中，适合于复杂结构的分解分析。

9、指纹图像压缩的案例

使用三尺度小波包分解，可以生成多达 83,522 种潜在分解，作为压缩过程的起点。
示例图展示了指纹图像的全波包分解，其中的 64 个叶子节点代表完整的分解结构。
在这种方法中，选择最优分解时，采用了加权的熵函数作为成本函数，以最小化信息冗余。

10、小波包的优化选择

每个分析树节点计算熵值 $E_p$ ，其子节点的总熵值 $E_A + E_H + E_V + E_D$ 若小于父节点，则包含子节点分解；否则仅保留父节点。
优化的分析树减少了不必要的分解复杂度，提升了存储和计算效率。
图示展示了最优小波包分解树的结构和最终分解结果，其中包含压缩过程中信息密度最优的节点选择。

附录

1、对偶函数

1. 对偶函数的定义

对偶函数 ( $\tilde{\phi}_k(x)$ ) 是在信号分解和重构中，与基函数 ( $\phi_k(x)$ ) 配合使用的一类函数，用于满足正交性或双正交性的条件，确保信号可以无失真地分解和重构。

数学定义

对偶函数和基函数满足双正交性关系：
- 这里 $\delta_{jk}$ 是 Kronecker δ函数： $\delta_{jk} = \begin{cases} 1, & j = k \\ 0, & j \neq k \end{cases}$
- 含义：不同索引的函数是正交的，而相同索引的函数积累到单位值。
系数的计算：信号 $f(x)$ 在基函数系统下的分解系数 $a_k$ 是通过对偶函数计算的：
$a_k = \langle \tilde{\phi}_k(x), f(x) \rangle = \int \tilde{\phi}_k(x) f(x) dx$
信号的重构：对偶函数与基函数配合，用于信号的无失真重构：
$f(x) = \sum_k a_k \phi_k(x)$
或者：
$f(x) = \sum_k \langle \tilde{\phi}_k(x), f(x) \rangle \phi_k(x)$

2. 对偶函数的本质

对偶函数的本质在于：

补偿非正交基函数的不足：
- 在非正交基函数中，直接利用基函数分解信号可能引入冗余或信息丢失。
- 对偶函数通过与非正交基函数配合，形成“等效的正交性”，从而实现无失真分解和重构。
构造信号空间的正交投影：
- 对偶函数与基函数的内积操作等价于对信号在基函数空间上的正交投影。
独立性与唯一性：
- 对偶函数确保信号的分解是唯一的，分解系数 $a_k$ 不依赖于信号的具体表达方式，而完全由对偶函数的定义决定。

3. 对偶函数的场景与重要性

3.1 在正交基函数中的对偶函数

如果基函数是正交的，则对偶函数与基函数相同：

$\tilde{\phi}_k(x) = \phi_k(x)$

这是因为正交性本身已经满足了重构信号的条件，无需额外的对偶函数。

3.2 在双正交基函数中的对偶函数（不正交也不一定就有冗余，也可能没有冗余。）

对于非正交的基函数（如双正交小波基），对偶函数是与基函数不同的一个函数集合，用于满足以下双正交性：

$\langle \phi_j(x), \tilde{\phi}_k(x) \rangle = \delta_{jk}$

对偶函数在这种情况下显得尤为重要。

3.3 在冗余系统中的对偶函数

如果基函数是冗余的（即构成一个框架而非基），对偶函数用于找到信号在冗余空间中的唯一分解。

4. 对偶函数的物理意义

分解与重构的辅助工具
- 在信号处理中，对偶函数提供了一种独立于基函数的方式，帮助我们从信号中提取分量并进行无失真重构。
平衡非正交性
- 对偶函数的引入本质上是为了平衡非正交基的影响，使得重构时可以精确恢复原始信号。
正交化的延伸
- 在正交基下，分解和重构完全由基函数完成。而在非正交或冗余情况下，对偶函数起到了类似正交化的作用。

5. 对偶函数的数学构造

对偶函数的构造方式取决于基函数的特性和所需满足的条件：

双正交基函数的对偶函数：
- 通过解一个线性系统，确定对偶函数，使其与基函数满足双正交关系。
冗余系统中的对偶函数：
- 对于框架，构造对偶函数需要满足框架条件： $A \|f(x)\|^2 \leq \sum_k |\langle \phi_k(x), f(x) \rangle|^2 \leq B \|f(x)\|^2$
- 对偶函数定义为： $\tilde{\phi}_k(x) = \sum_{j} (\mathbf{G}^{-1})_{kj} \phi_j(x)$ 其中 $\mathbf{G}$ 是基函数的 Gram 矩阵。