AcWing 4508. 移动的点

最新推荐文章于 2025-08-02 10:34:45 发布

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分类专栏：哈希思维文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_51448653/article/details/126334767

哈希同时被 2 个专栏收录

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本文探讨了在二维平面上，多个移动点相遇的数学模型。通过分析点的相对速度和位置关系，得出任意两点要么相对静止要么仅相遇一次的结论，并提出了一种利用哈希表进行高效碰撞检测的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

思路：

首先我们发现两个点之间最多相遇一次；比如以点a为参考系，那么a相当于静止，如果b会与a相遇，那b只能朝a这一个方向运动，且速度大于0，如果等于0就相对静止永远不可能相遇；因此，我们说，任意两个点要么相对静止，要么只相遇一次，或者错开
在所有点都在y=ax+b上这个时刻看，假设有两个点i和j，以i为参考系，看j的相对速度，j如果能与i相遇，意味着（注意，可能在这个时刻前，也可能在这个时刻后，因此，速度方向有两种，但斜率只需要有一种）j沿着这个直线走，即j相对于i的相对速度的斜率一定等于a，即 $Vjy−ViyVjx−Vix=a\frac{V_{jy}-V_{iy}}{V_{jx}-V{ix}}=a$ ，即 $V_{jy}-aV{jx}=V_{iy}-aV{ix}$ ，同时，两个点不能相对静止
设 $w_i=v_y-av_x$ ，若两个点w相同，且相对速度不为0，则这两个点回会相遇
关于判断相对速度大小是否为0，我们将 $V_x,V_y)$ 这个数对哈希一下，由于每一个数都是在1e9以内，我们将哈希值设为Base=2e9+1，…，将这个数对变为一个在0~2e9之间的数，因此，可以看成一个2e9+1进制数，这样哈希值就是唯一的了
我们记录速度方向一致的，再记录相对速度大小为0的，用前者的方案数减去后者的方案数

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <sstream>
#include <unordered_set>
#include <unordered_map>
#include <bitset>
#define endl '\n'
#define _(a) cout << #a << ": " << (a) << "    "
#define one first
#define two second
#define pb push_back
using namespace std;
template<class T> void chkmax(T &a, T b) {a = max(a, b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b) {a = min(a, b);}
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<ll, int> pli;
typedef pair<int, ll> pil;
const ll Base = 2e9 + 1, Zero = 1e9;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    int n, a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    unordered_map<ll, int> hash1, hash2;
    while (n -- ) {
        int x, vx, vy;
        cin >> x >> vx >> vy;
        hash1[vy - (ll)a * vx] ++ ;
        hash2[(vx + Zero) * Base + vy + Zero] ++ ;
    }
    ll ans = 0;
    for (auto& [k, v] : hash1) ans += v * (v - 1ll);
    for (auto& [k, v] : hash2) ans -= v * (v - 1ll);
    cout << ans;
}