埃氏筛 C++

原创 已于 2022-03-28 11:11:44 修改 · 置顶 · 3.3k 阅读 · 9 ·
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#埃氏筛 #c++

于 2022-03-27 15:25:46 首次发布
本文详细介绍了埃氏筛法求质数的原理，并提供了C++实现代码。通过两个关键细节优化，使得算法效率更高：一是筛去倍数时只到`i <= N / i`，二是从`i * i`开始取倍数，避免重复筛选。文章还讨论了这些优化在不同N值下的效果，并指出在实际应用中的价值。

        在 求指定范围内的质数个数 问题中，一般有试除法和筛法两大类。

        试除法【时间复杂度为O(n^2)】容易超时。筛法中又有朴素筛、埃氏筛、欧拉筛。虽然欧拉筛【时间复杂度为O(n)】是线性的最优的，但是在理解和写比较复杂。一般用埃氏筛【时间复杂度为O(n loglogn)】就够了，埃氏筛代码简洁、更易理解。且本篇的埃氏筛还有两处细节优化。

埃氏筛原理

        先假设每个数都是质数。

  • 从 2 开始，2是质数，那么2的倍数：4、6、8、10、12、14、16... 肯定不是质数
  • 3是质数，那么3的倍数：6、9、12、15、18、21..... 肯定不是质数
  • 4已经被筛去了（即被置为false），不是质数，那么4的倍数肯定被它的因子筛过，所以4不用看，跳过
  • ... ...

        没有被筛去的一定是质数，因为它没有被比它小的任何一个数筛去，说明它不是任何一个数的倍数，所以一定是质数。

代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include <cstring>      //Dev C++下memset头文件，vs 2019中不用加

const int N = 1e5;		//即 10,0000
bool isPrime[N + 5];	//标记每个数，如果为true，则为质数，否则为合数；这里一定要多开一个空间，否则标记N时，会数组越
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