偏微分笔记（一）

方程的导出及定解问题的提法

基本概念

一般形式：$u(x_1,x_2,\cdots ,x_n)(n\ge 2)$
$$F(x_1,\cdots ,x_n,u,Du,D^{2}u,\cdots ,D^{m}u)$$
偏微分方程的阶：方程中实际所含未知函数的偏导数的最高阶数
$$偏微分方程\{\begin{array}{l}线性偏微分方程\\ 非线性偏微分方程\{\begin{array}{l}拟线性偏微分方程\{\begin{array}{l}半线性偏微分方程\\ \\ 一般拟线性偏微分方程\end{array}\\ \\ 完全非线性偏微分方程\end{array}\end{array}$$
线性叠加原理：与常微分相同（齐次解（通解）与非齐次解（特解））

习题1.1中的偏微分方程（$u=f(x,y)$）：

• $\frac{\partial }{\partial x}u=0\Rightarrow u=g(y)$
• $\frac{\partial }{\partial y}u=0\Rightarrow u=h(x)$

几个经典方程

没啥好写的。不如写写接下来会出现的符号或数学工具。

• Laplace算子

• 散度定理
  $${\int }_{\Omega }\sum _{i=1}^n\frac{\partial P_i}{\partial x_i}d{x}_1\cdots d{x}_n={\int }_{\Gamma }\sum _{i=1}^n{P}_i\cos (\nu ,x_i)dS$$

• Fourier积分

定解问题

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}泛定方程\\ 定解问{题}^{\ast }\{\begin{array}{l}初值问题\\ 边值问题\{\begin{array}{l}第一边值问题（Dirichlet问题）\\ \\ 第二边值问题（Neumann问题）\\ \\ 第三边值问题（Robin问题）\end{array}\\ \\ 初边值问题（混合问题）\end{array}\end{array} \\ \ast :定解问题——泛定方程+定解条件 \end{gathered}$$

适定性：存在性（至少一个解），唯一性（至多一个解），稳定性（当已知的定解条件在某种意义下做微小的变动时，相应的定解问题的解也只做微小的变动）

二阶方程的特征理论与分类

二阶方程的特征

（1）两个自变量：

• 一般形式：

$$a{u}_{xx}+2b{u}_{xy}+c{u}_{yy}=F$$

• 特征方程： $a\mathsf{d}{\mathsf{y}}^2-2b\mathsf{d}\mathsf{x}\mathsf{d}\mathsf{y}+c\mathsf{d}{\mathsf{x}}^2=0$
  $$\frac{dy}{dx}=\frac{b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}(a\ne 0)$$

• 隐函数形式：与数学分析中一样，只要利用好隐函数形式和显函数之间的关系就行，举个例子，若 $F(x,y,z)=0$，则可先计算出 $F_x,f_y,F_z$ 那么有
  $$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\frac{dz}{dy}=-\frac{F_y}{F_z},\frac{dz}{dx}=-\frac{F_x}{F_z}$$

（2）多个自变量：（可略过）

• 一般形式：
  $$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}+cu=f$$
  $a_{ij},b_i,c,f$ 为已知函数，并需要在 ${\mathbb{R}}^n$一定区域满足可微性条件，设 S 是${\mathbb{R}}^n$ 一个曲面：$G(x_1,\cdots ,x_n)=0$
  $$\{\begin{array}{l}u{|}_{G=0}={\varphi }_0(x_1,\cdots ,x_n),\\ \\ \frac{\partial u}{\partial x_1}{|}_{G=0}={\varphi }_1(x_1,\cdots ,x_n),\cdots ,\frac{\partial u}{\partial x_n}{|}_{G=0}={\varphi }_n(x_1,\cdots ,x_n)\end{array}$$

• 特征曲面：
  $$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial G}{\partial x_i}\frac{\partial G}{\partial x_j}=0$$
  或：
  $$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\alpha }_i{\alpha }_j=0$$

• 想法：为啥大于两个变量的二阶方程特征需要 $\frac{\partial G}{\partial x_i}$ 等也即在曲面上的信息，而两个变量时不用呢？实际上，都是有涉及到的。只不过两个变量时的相容性条件很好，决定是否为特征曲线的式子只需要到泛定方程的原始信息。

（3）在非特征曲线上给定初始条件，解可能是适定的。但若初始条件给在特征曲线上，则一般无解，若有解则解有无穷个，即不适定。

二阶方程的分类

（1）两个自变量：$\Omega \subset {\mathbb{R}}^2$ 是一个区域
$$\{\begin{array}{ll}双曲型偏微分方程& \Delta (\Omega )>0\\ 抛物型偏微分方程& \Delta (\Omega )=0\\ 椭圆型偏微分方程& \Delta (\Omega )<0\end{array}$$
此外，还有混合型方程，退化双曲型方程，退化椭圆型方程（略过）

（2）多个自变量（n>2）:仅考虑主部具有常系数的多个自变量的二阶线性偏微分方程
$$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i(x_1,\cdots ,x_n)\frac{\partial u}{\partial x_i}+c(x_1,\cdots ,x_n)u=f(x_1,\cdots ,x_n)\text{\hspace{1em}(\#)}$$
由上一节知识，上面式子的特征方程为：
$$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{\alpha }_i{\alpha }_j=0$$
称之为特征二次型，首先我们需要把这个特征二次型 标准化：

最先考虑的方法是 配方法，其次才是 初等变换(行列同时)，详情点击下面链接 ⬇️
（摘自 二次型化标准形的五种方法 )

将（#）化为标准型：
$$\sum _i^n{\lambda }_i\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y_i^2}+\sum _{i=1}^n{B}_i(y_1,\cdots ,y_n)\frac{\partial u}{\partial y_i}+C(y_1,\cdots ,y_n)u=F(y_1,\cdots ,y_n)$$
得到如下分类：
$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_i全不为0\{\begin{array}{l}{\lambda }_i全是1或全是-1椭圆型偏微分方程\\ \\ {\lambda }_i不全是1且不全是-1\{\begin{array}{l}1个为1，其余为-1双曲型偏微分方程\\ \\ 1个为-1，其余为1双曲型偏微分方程\\ \\ 1或-1的个数超过1超双曲型偏微分方程\end{array}\end{array}\\ \\ {\lambda }_i有一个为0抛物型偏微分方程\\ \\ {\lambda }_i至少两个为0(不讨论)\end{array}$$

二阶方程化为标准型（n=2）

（1）双曲型方程具有两种标准型，第一标准型 主部不含平方项，第二标准型恰好相反。两种标准型通过一个旋转变换产生联系。（不用记得哪个究竟是哪个标准型不好交叉项，因为利用特征曲线法化简出来的就是第一标准型，看结果就知道了）
$$a{u}_{xx}+b{u}_{xy}+c{u}_{yy}\stackrel{特征曲线}{⟶}{u}_{\xi \eta }\stackrel{\bar{x}=\xi +\eta ,\bar{y}=\xi -\eta }{⟶}{u}_{\bar{x}\bar{x}}-u_{\bar{y}\bar{y}}$$
（2）抛物型偏微分方程只会得到一条特征曲线，进行变量替换时需要将其中一个进行直接替换，（4）中会体现这一点。

（3）主部常系数的二阶方程：如何快速定出一阶项的系数？

例题（p35. 1.（2））化下式为标准型：
$$u_{xx}+2u_{xy}+2u_{yy}+4u_{yz}+5u_{zz}+3u_x+u_y=0$$
解：$D={\alpha }_1^2+2{\alpha }_1{\alpha }_2+2{\alpha }_2^2+4{\alpha }_1{\alpha }_3+5{\alpha }_3^2$，利用配方法，易得 $D=({\alpha }_1+{\alpha }_2{)}^2+({\alpha }_2+2{\alpha }_3{)}^2+{\alpha }_3^2$，令
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2\\ {\beta }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_3\\ {\beta }_3={\alpha }_3\end{array}，则\{\begin{array}{l}{\alpha }_1={\beta }_1-{\beta }_2+2{\beta }_3\\ {\alpha }_2={\beta }_2-2{\beta }_3\\ {\alpha }_3={\beta }_3\end{array}$$
则新的一次项系数为
$$\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 4\end{array}\right)$$
最终化为 $u_{\xi \xi }+u_{\eta \eta }+u_{\zeta \zeta }+3u_{\xi }-2u_{\eta }+4u_{\zeta }=0$

（4）主部非常系数求特征及标准型

本质上，我们解决如何求特征曲线——将常数项替换成新的变量！

例题（p34. 1.（3））化下式为标准型：
$${\sin }^{2}x{u}_{xx}-2y\sin x{u}_{xy}+y^2{u}_{yy}=0$$
解：$\because \Delta =b^2-ac=(-y\sin x{)}^2-{\sin }^{2}x\cdot y^2=0$，$\therefore 抛物型偏微分方程$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{b\pm \sqrt{b^2-ac}}{a}=\frac{-y}{\sin x},y=c{e}^{-\int \frac{dx}{\sin x}}=c\frac{\sin x}{1-\cos x}$$
进行变量替换，令
$$y=c\frac{\sin x}{1-\cos x}\Rightarrow y=\xi \frac{\sin x}{1-\cos x}\Rightarrow \xi =\frac{y(1-\cos x)}{\sin x}$$
所以，
$$\{\begin{array}{l}\xi =\frac{y(1-\cos x)}{\sin x}\\ \\ \eta =y\end{array}$$
余下常规操作