高数函数和极限学习笔记

李建坤坤

已于 2023-05-08 10:21:28 修改

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分类专栏：考研高数文章标签：学习程序人生

于 2023-03-05 17:00:50 首次发布

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各项符号的意义

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各类函数的图像

lnx的图像

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e的x次幂的图像

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e的1/x次幂的图像

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tan x 函数图像

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cot x 函数图像

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sin 1/x 函数图像

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cos 1/x 函数图像

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arc sinx 函数图像

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arc cos x 函数图像

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arc tan x 函数图像

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arc cot x 函数图像

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常见公式

lim x→0 (1-cos x) = 1/2 x²
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函数

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复合函数的概念

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反函数的概念

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反函数例题

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求反函数的方法

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初等函数是什么

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对数函数概念

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三角函数以及反三角函数的概念

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函数的单调性

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函数的奇偶性

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函数的周期性

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函数例题

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极限

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极限例题

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补充说明：解题3中，是利用了e的性质来解的

证明极限例题

在这里插入图片描述在证明命题1之前，首先需要知道一个定理，即| |a| - |b| | <= | a-b |

自变量趋于无穷时函数的极限

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注意，n→∞ 等价于 n→+∞
因为n默认认为是数列下标，为正整数

自变量趋于有限时函数的极限

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左极限与右极限

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这里要注意区分e的无穷

三种需要区分左右极限的问题

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同理，arctan x 也是没有极限的，但是分左右之后可以有两个极限

区分左右极限例题

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左右极限证明题

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该题关键在于记住两个公式，然后就是极限存在则证明两段极限相等

收敛与发散

数列收敛，等价于数列存在极限
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数列发散，等价于数列不存在极限，不存在极限有两种情况：极限为∞，极限有多个

数列组合的变换

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收敛数列相加减，相乘，结果都是收敛数列
收敛数据与发散数列想加减，结果是发散数列，但相乘，结果是不确定的，可能是收敛数列，也可能是发散数列，见红色圈中表达式

发散数列与发散数列相加减，结果是不确定的，如上方红框
相乘也是不确定的，如下方红框

数列极限的有界性

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收敛必有界
有界未必收敛
比如 -1的n次幂

发散未必无界比如 {-1，1，-1，1，…}
无界必发散

函数极限的有界性

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即局部有界不能推出极限存在

如 f(x) = sin 1/x 在【-1，1】之间是局部有界的，但是没有极限

数列极限的保号性

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注意结论1中，Xn > 0 而 ≠ 0，因为可以由反例（-1的n次方）/ n 趋近于0可知，它是一左一右，一正一负跳着趋近于0的，所以不成立
注意结论2中，Xn ≥ 0 而不能只＞0，因为由反例1/n可知，当n>0时，极限为0，所以不成立

函数极限的保号性

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函数极限保号性例题

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极限值与无穷小的关系

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极限存在准则之夹逼准则

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极限存在准则之单调有界准则

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夹逼准则例题

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上题中要注意，方框中是取整函数的性质，可以直接拿来用

上题中方框部分可以明显得出那部分小于1，所以看作1时，整体式子最大

单调有界准则习题

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无穷小量

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无穷小量例题

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这道题的关键在于有个公式，即 lim x→0 (1-cos x) = 1/2 x²
还有就是当a(x) 与 sin(x) 极限都为0 时，可以带入到原来的式子中
注意：最后写错了，应该是为常数且≠1

无穷小的性质

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有限个无穷小的和仍然是无穷小
但是无限个无穷小的和就不是无穷小了
看右面那个框框，结果为1/2，是常量了，就是因为他有n项，即无穷项

无穷小的性质例题

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无穷大量

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常用的一些无穷大量的比较

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<<为远小于号
后面的/前面的极限为0 ，前面的/后面的极限为∞

无穷大量例题

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根据上面的公式，直接选择C ,超级简单

无穷大量的性质

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注意：
1.无穷大和无穷大的和并不为无穷大，比如 -∞ 和＋∞
2.无穷大乘有界并不为无穷大，例如对于有界量（1/n）来说，无穷大是n ,则乘积为1，对于无穷大根号n来说，乘积是 0 ，对于无穷大n来说，乘积是∞，所以它是不确定的

无穷大量与无界变量的关系

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无穷大无穷小例题

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无穷大量与无穷小量的关系

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极限的概念/性质/存在准则

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数列 {Xn} 收敛于 a 表示对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数 N，当 n>N 时，| Xn - a | < ε 成立。
这个题就变成了
| Xn - a | < ε 和
| Xn - a | <= 2ε
能否互相推论的问题。
因为ε是一个无限趋近于0的数字，所以2ε是没有意义的，它和ε一样都代表无限趋近于0的一个数字，又因为ε≠0，所以两个条件相同

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这道题用到了之前学习的极限的奇偶性，
A选项中，数列极限的奇数列和偶数列同时取同一个极限时，则整个数列取这个极限。
B选项和D选项的差别在于，B选项包含了所有数列，而D选项中还差3n+2这个项
C选项中反着推怎么都是对的。
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1/x²的图像是这样的

所以 lim x→0 1/x² = +∞

sin 1/x 的图像是这样的
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所以 lim x→0 sin(1/x) 没有极限，但是处于∈[-1,1]

A选项，无穷小，
由于 1/x²是无穷大，sin (1/x) 如果取1的时候，结果就是无穷大了，所以不成立

B选项，无穷大，
由于 1/x²是无穷大，sin (1/x) 如果取0的时候，结果就是0了，所以不成立

C选项，有界但不是无穷小，
由于 1/x²是无穷大，sin (1/x) 如果取1的时候，结果就是无穷大了，所以不成立

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像这种题，只要找sin图像中特殊的点，就能作答

求极限的8种方法

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利用基本极限求极限

常用的基本极限

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注意上面板书的那两个极限不存在
只有在x→0+以及x→+∞的时候才有极限

极限为1，这俩和上边的区别为，上边为无穷小的无穷大次幂，下边为无穷大的无穷小次幂，所以极限不同

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1的无穷大次方

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注意板书中红框中是错的，红框中的算式应该是下面的结果
这道题用到了两个基本极限

注意，这道题如果写成上面这种形式就是正确的了
这时候的P是个常数，而不是n，n是趋向于无穷的
1的常数次幂是1，而1的无穷次幂是不确定的
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这道题利用的是上面的1的无穷大次幂三步走的方法

用排除法更简单，要点还是要了解1的无穷大次幂那个知识点