【BZOJ1706】relays 奶牛接力跑

题目：BZOJ1706

解析：

  矩阵快速幂。
  首先将起点终点离散化降至$100$以内。
  考虑最裸的状态转移，令$f[k][i][j]$表示经过$k$条边从$i$到$j$的最短路长度，就有： f [ k ] [ i ] [ j ] = m i n { f [ k − 1 ] [ i ] [ m i d ] + a [ m i d ] [ j ] } f[k][i][j]=min\{f[k-1][i][mid]+a[mid][j ]\} f[k][i][j]=min{f[k−1][i][mid]+a[mid][j]}
  这样直接转移复杂度是$O(N\ast 100^3)$的考虑去掉$k$部分后实际上就是一个矩阵乘法，那么相当于是求初始矩阵的$k$次方，矩阵快速幂即可。
  总结：若发现递推式很像矩阵乘法，并且满足结合律，那么就可以大胆地用矩阵乘法/矩阵快速幂求解。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=105;
int n,m,s,t,k,rev[Max*10];
struct matrix{int a[Max][Max];}ans,v;

inline matrix mul(const matrix&a,const matrix&b)
{
	matrix c;
	memset(c.a,0x3f,sizeof(c.a));
	for(int k=1;k<=n;k++)
	  for(int i=1;i<=n;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++)
	      c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);
	return c;
}
inline void solve()
{
	while(k)
	{
	  if(k&1) ans=mul(ans,v);
	  k>>=1,v=mul(v,v);
	}
}

int main()
{
	memset(v.a,0x3f,sizeof(v.a));
	memset(ans.a,0x3f,sizeof(ans.a));
	scanf("%d%d%d%d",&k,&m,&s,&t);
	for(int i=1,a,b,c;i<=m;i++)
	{
	  scanf("%d%d%d",&c,&a,&b);
	  if(!rev[a]) rev[a]=++n;
	  if(!rev[b]) rev[b]=++n;
	  v.a[rev[a]][rev[b]]=v.a[rev[b]][rev[a]]=min(v.a[rev[b]][rev[a]],c);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans.a[i][i]=0;
	solve();
	printf("%d",ans.a[rev[s]][rev[t]]);
	return 0;
}