大根堆操作-优快云博客

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声明：博客主要知识点内容来自参考书《数据结构、算法与应用》，本篇博客的主要目的是记录学习过程，方便日后复习。

堆的定义：一棵大根树（小根树）是这样一棵树，其中每个节点的值都大于（小于）或等于其子节点（若有子节点的话）的值。一个大根堆（小根堆）既是大根树（小根树），也是完全二叉树。

堆的常见操作：

大根堆的插入操作：插入过程基本是这样的，将新的元素插入新的节点，然后沿着新的节点到根节点的路径，执行一趟起泡操作（基本就是两两比较的操作，若比父节点大就执行交换操作），将新元素与父节点的元素进行比较交换，直到后者大于或者等于前者为止。在插入函数push的代码中，首先判断数组heap是否有空间容纳新的元素，如果没有的话需要扩容。然后令变量currentNode指向新的叶子节点的位置。接下来，沿着叶子节点向根节点的路径进行遍历。实际上，是将新元素theElement沿着这条路径起泡上浮，直至到达合适的位置。在每一次确定上移位置currentNode的值时，我们需要判断，是否到达根节点（也即currentNode == 1）,或者是否在currentNode位置插入新的元素之后符合大根树的特性（也即theElement <=heap[currentNode/2]）.。如果满足一个条件，就将新元素theElement插入的位置currentNode。否则，进入while循环体，将位置currentNode/2位置的元素下移至currentNode，然后令，currentNode = currentNode/2。
大根堆的插入C++示例代码：

template<class T>
void maxHeap<T>::push(const T& theElement)
{
   //增加数组长度
  if(heapSize == arrayLength -1)
  {
    changeLength1D(heap,arrayLength,2*arrayLength);
	arrayLength = 2*arrayLength;
  }
  //为新的元素theElement找到插入位置
  int currentNode = ++heapSize;
  while(currentNode !=1 && heap[currentNode/2] <theElement)
  {
    //父节点下移
	heap[currentNode] = heap[currentNode/2];
	currentNode = currentNode/2;      //currentNode移向双亲
  }
  heap[currentNode] = theElement;
}

大根堆的删除操作：在大根堆中删除一个元素，就是删除根节点的元素。删除根节点之后，需要进行大根堆的重构。以下是C++操作示例代码：pop操作要删除的是堆中的最大元素，它存在根heap[1]中。删除的过程是，把堆的最后一个元素heap[heapSize]保存到变量lastElement中，然后堆的元素个数heapSize减一。在while循环中，我们把heap数组重建为大根堆。重建堆的过程是为存储在lastElement中元素寻找合适的插入位置，寻找过程从根开始沿堆向下进行。

template<class T>
void maxHeap<T>::pop()
{
  if(heapSize == 0)     //堆为空
    throw queueEmpty();
  
  //堆不为空的话，删除第一个元素
  heap[1].~T();
  
  //删除最后一个元素，然后重建堆
  T lastElement = heap[heapSize--];
  
  //从根节点开始，为最后一个元素寻找位置
  int currentNode = 1;
  int  child = 2;            //currentNode的孩子
  while(child<heapSize)
  {
    //heap[child]应该的currentNode的更大的孩子
	if(child<heapSize && heap[child]<heap[child+1])
	  child++;
	  
	//如果lastElement比heap[child]还大，就可以将lastElement放在currentNode位置上
	if(lastElement >heap[child])
	  break;
	
    //否则的话，将孩子向上移动，currentNode向下一层寻找位置
    heap[currentNode] = heap[child];
    currentNode = child;
    child = child*2;        	
  }  
  heap[currentNode] = lastElement;
	
}

初始化一个非空大根堆：方法initialize在数组heap中建堆。函数一开始，令heap指向数组theHeap，heapSize等于数组中元素个数theSize。在for循环中，我们从最后一个具有孩子的节点到根节点进行扫描，并用root表示正在处理的节点。对于每一个root值，嵌入的while循环把以root为根的子树调整为大根堆。

template<class T>
void maxHeap<T>::initialize(T *theHeap,int theSize)
{
 //在数组theHeap[1:theSize]中建大根堆
 delete [] heap;
 heap = theHeap;
 heapSize = theSize;
 
 //堆化
 for(int root = heapSize/2;root>=1;root--)
 {
	T rootElement = heap[root];
    //为元素rootElement寻找位置
    int child = 2*root;
    while(child < heapSize)
	{
		//heap[child]应该是兄弟中的较大者
		if(child<heapSize && heap[child]< heap[child+1])
			child++;
		//可以将元素rootElement放在heap[child/2]嘛？
		if(rootElement >= heap[child])
			break;  //可以
		//不可以
		heap[child/2] = heap[child];   //把孩子向上移
		child *=2;		
	}		
	heap[child/2] = rootElement;
 }
}