[POJ](1061) 青蛙的约会 ---- 数论 (扩展欧几里得求解线性同余方程)

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路： 通过读题我们会发现，x+ t*m ≡ y + t*n (mod L) 。
我们把这个同余式 转换一下 即： t*（m-n） = y-x + k*L , 设t =变量 x，y-x = 常量b
就变成了 (m-n) *x ≡ b (mod L) 这种形式，这样我们就可以利用扩展欧几里得算法求解这个线性同余方程啦~

求解线性同余方程原理：
(m-n) *x ≡ b (mod L) —–> A*x ≡ B (mod L)
(A*x)%L=B%L
(A*x)−⌊(A*x)/L⌋×L=B
(A*x)+L*(−⌊(A*x)/L⌋)=B
然后两边都有x怎么办？
直接当作x和y的某种关系即可，因为我们只要求x。
ax+by=k
a=A,b=L,K=B

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
void IO()
{
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
}
void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y,LL &d)
{
    if(!b) {d = a,x = 1,y = 0;}
    else exgcd(b,a%b,y,x,d),y-=(a/b)*x;
}
int main()
{
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif // LOCAL
//    IO();
    LL xx,yy,m,n,l,d,x,y;
    cin>>xx>>yy>>m>>n>>l;
    exgcd(m-n,l,x,y,d);
    if((yy-xx)%d !=0 )
    {
        cout<<"Impossible"<<endl;
        return 0;
    }
    LL ans = x*(yy-xx)/d;
    ans = (ans%l+l)%l;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}