poj1284 - 原根+欧拉函数

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#欧拉函数 #原根

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博客围绕奇素数模下原根个数展开。介绍了原根定义，即若a模m的阶等于φ(m)，a为模m原根。求原根通常从2开始枚举并暴力判断。对于奇素数p，原根个数是φ(φ(p))，因p是质数，φ(p)=p - 1，所以原根个数为φ(p - 1)，合数及2的原根个数为0。

Primitive Roots

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Description

We say that integer x, 0 < x < p, is a primitive root modulo odd prime p if and only if the set { (xi mod p) | 1 <= i <= p-1 } is equal to { 1, ..., p-1 }. For example, the consecutive powers of 3 modulo 7 are 3, 2, 6, 4, 5, 1, and thus 3 is a primitive root modulo 7.
Write a program which given any odd prime 3 <= p < 65536 outputs the number of primitive roots modulo p.

Input

Each line of the input contains an odd prime numbers p. Input is terminated by the end-of-file seperator.

Output

For each p, print a single number that gives the number of primitive roots in a single line.

Sample Input

23
31
79

Sample Output

10
8
24

思路：

原根的定义：摘自百度百科

原根是一种数学符号，设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数） [1]

假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1<g<P，0<i<P，归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数)。

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数），其中i≠j且i, j介于1至(p-1)之间，则g为p的原根。

求原根目前的做法只能是从2开始枚举，然后暴力判断g^(P-1) = 1 (mod P)是否当且仅当指数为P-1的时候成立。而由于原根一般都不大，所以可以暴力得到。

根据加粗的话，可以看出来题目就是让求原根的个数

另外：阶的定义

对于素质数p：原根个数是φ(φ(p))，又因为p是质数，φ(p)=p-1，所以原根个数为φ(p-1)

对于合数以及2：原根个数为0

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=65540,mod=10007;
int is_prime[N],euler[N];

void sieve(ll n){//筛素数
    is_prime[1]=1;//不是素数
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(!is_prime[i]){//是素数
            for(ll j=2*i;j<=n;j+=i){
                is_prime[j]=1;//不是素数
            }
        }
    }
    is_prime[2]=1;
}

void phi(int n){//欧拉函数打表
    for(int i=0;i<=n;i++)euler[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(euler[i]==i){
            for(int j=i;j<n;j+=i){
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

int main(){
    ll p;
    sieve(65536);
    phi(65536);
    while(scanf("%lld",&p)!=EOF){
        if(is_prime[p]==1){
            printf("0\n");
            continue;
        }
        printf("%d\n",euler[p-1]);
    }
}