概率统计学习笔记（１2）——二维随机变量

二维随机变量（向量）

设$E$是一个随机试验，它的样本空间是$S=e$,设$X=X(e)$和$Y=Y(e)$是定义在$S$上的随机变量，由它们构成的一个向量$(X,Y)$叫做二维随机向量。

分布函数：
设$(X,Y)$是二维随机变量，对于任意实数$x,y$二元函数
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=记为P{X≤x,Y≤y}F(x,y)=P\{(X\le x)\cap(Y\le y)\}\overset{记为}{=}P\{X\le x,Y\le y\}F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=记为P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称为随机变量$X$和$Y$的联合分布函数

性质：

• $F(x,y)$是变量$x,y$的不减函数
• $0\le F(x,y)\le 1$，且
  • 对于任意固定的$y,F(-\infty ,y)=0,$
  • 对于任意固定的$x,F(x,-\infty )=0,$
  • $F(-\infty ,-\infty )=0,F(\infty ,\infty )=1$
• $F(x,y)$关于$x$右连续，关于$y$也右连续
  $$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$$
• 对于任意$(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2$下述不等式成立
  $$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)-F(x_1,y_2)\ge 0$$

离散型随机变量

定义：
如果二维随机变量$(X,Y)$全部可能取到的值是有限对或者可列无限多对，则称$(X,Y)$是离散型随机变量。

联合分布律：
设二维离散随机变量$(X,Y)$所有可能取的值$(x_i,y_j),ij=1,2,...,$记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,...,P{X=xi​,Y=yj​}=pij​,i,j=1,2,...,则由概率定义有$p_{ij}\ge 0,{\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$
称$(x_i,y_j),i,j=1,2,...,$记P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,...,P{X=xi​,Y=yj​}=pij​,i,j=1,2,...,为二维离散型随机变量$(X,Y)$的分布律或随机变量$X$和$Y$的联合分布律。

连续型的二维随机变量及其联合概率密度：
如果存在非负的函数$f(x,y)$使对于任意$x,y$有
$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(\mu ,\upsilon )d\mu d\upsilon$$
则，称$(X,Y)$是连续型的二维随机变量，函数$f(x,y)$称为二维随机变量$(X,Y)$的概率密度，或称随机变量$X$和$Y$的联合概率密度。

性质：

• $f(x,y)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=F(\infty ,\infty )=1$
• 设$G$是$xoy$平面内的区域，点$(X,Y)$落入$G$内的概率为
  P{(X,Y)∈G}=∫∫Gf(x,y)dxdyP\{(X,Y)\in G\}=\int\int_{G}f(x,y)dxdyP{(X,Y)∈G}=∫∫G​f(x,y)dxdy
• 若$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，则有
  $$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$$

$n$维随机向量（变量）

定义：
设$E$是一个随机试验，它的样本空间是S={e}S=\{e\}S={e}，设X1=X1{e},X2=X2{e},...,Xn=Xn{e}X_1=X_1\{e\},X_2=X_2\{e\},...,X_n=X_n\{e\}X1​=X1​{e},X2​=X2​{e},...,Xn​=Xn​{e}是定义在$S$上的随机变量，由它们构成一个$n$维向量$(X_1,X_2,...,X_n)$称为$n$维随机向量（变量）

联合分布函数
对于任意$n$个实数$x_1,x_2,..,x_n,n$元函数
F(x1,x2,...,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,...,Xn≤xn}F(x_1,x_2,...,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,...,X_n\le x_n\}F(x1​,x2​,...,xn​)=P{X1​≤x1​,X2​≤x2​,...,Xn​≤xn​}
称为$n$维随机变量的联合分布函数。
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