定点数、浮点数及其乘法运算

定点数

定点数：小数点的位置是确定的。

例如：定点数运算 1.1 * 1.1 = 1.2，小数点的位置没有变化。
　　

定点的意思是，小数点固定在 32 位中的某个位置，前面的是整数，后面的是小数。
例子：以2.1为例，数据位宽24，小数点固定在从LSB->MSB第12位（fraction=12bit）,2.1的Q12（12位）型定点小数为：2.1*2^12=8601.6
，由于这个数要用整数储存， 所以是8601即 0x2199，0b0010000110011001。因为舍弃了小数部分，所以0x2199不是精确的2.1，实际上它是8601/2^12 =2.099853515625

浮点数

浮点数：小数点位置是漂浮不定的。

例如：浮点数运算 1.1 * 1.1 = 1.21，小数点位置发生了变化。

IEEE 754 规定，浮点数的表示方法为：

最高的 1 位是符号位 s，接着的 8 位是指数E，剩下的 23 位为有效数字 M。

浮点数定点化

两个 16 位的浮点数运算，最高位是符号位： 2.918 * 3.1415926 = 9.1671672068，尝试将浮点数进行定点化。

1. 定点转换（Qn=12）
   符号1位，整数取3位（实际2位就够），小数12位，可以看成把 1 分成了 212份，因此：
   2.918 * 212 = 11952.168 = 11952；
   3.1415926 * 212 = 12867.8632896 = 12868；
2. 定点数相乘
   11952 * 12868 = 153798336。
3. 结果还原
   相乘后，整数部分为 6 位，小数部分为 24 位。因此结果 = 153798336 / 2^24 = 9.167095184326171875，和原计算值差距非常小。
4. 量化误差和量化精度
   　　小数点的位置不同带来的量化误差不同，例如上面定点转换的过程中出现的小数点进行了四舍五入，这是因为 2.918 无法完全用 1/212来表示。小数位数越多，表示的量化精度越高，小数位为 Qn，最大量化精度为 1/2n。
5. 无损定点化
   　　所谓【无损定点化】只是数学概念，只要量化误差小于精度的一半，就认为是“无损”的。按照这个标准，那对小数点采取四舍五入的结果必然是无损的。但是校招时很多题采取的是“量化后直接去除小数”，那么小数大于 0.5 则不是无损的了。

浮点数乘法运算

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一般浮点数表示为（符号位，总位宽，小数位）
例如：（1，16，12）表示1bit符号位，16bit数据位宽,12bit小数位，3bit整数位；精度为1/2^12;
**加减法：**与普通二进制运算相同；
乘法：浮点转定点，再进行运算；
例如：（0，48，18）*（0，28，0）=（0，76，18）；最终格式是对应位相加；若两个有符号数的乘法（1，16，11）*（1，16，14）=（1，31，25）；取其中一个数的符号位，剩下总位宽15+16=31；小数位相加
浮点数定点化总结：
若小数点后有n位，如0.00002048小数点后面8位，定点化几位小数呢？
log2(0.00000001)=-26.5754
①定点化为26bit，绝对误差abs(0.00002048-2^-26)/0.00002048=0.9993
②定点化为27bit,绝对误差abs（0.00002048-2^-27）/0.00002048=0.99996
可以满足要求

例题

参考博客：https://www.cnblogs.com/will-w/p/15221939.html