证明：a%b == a&(b-1)-优快云博客

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在底层实现和性能优化（如 HashMap 的实现原理之索引计算）中，有这么一个等式经常被使用：

a % b == a & (b - 1)

可以认为这是一个高效取模运算的技巧，下面是该公式的使用条件限制和标准证明

描述

对于任意非负整数 a 和任意正整数 b，如果 b 是 2 的整数次幂，那么 a 对 b 取模的结果等价于 a 与 (b - 1) 进行 按位与（&） 运算的结果

形式化定义：

令 a 为一个整数，且 a ≥ 0
令 b 为一个整数，且 b = 2^n，其中 n 为一个非负整数 (n ≥ 0)
则以下等式恒成立：
a % b == a & (b - 1)

为了证明这个定理，我们需要从二进制表示的角度来理解取模运算和按位与运算

1. 分析 b 和 b - 1 的二进制形式

因为 b 是 2 的 n 次幂 (b = 2^n，其中 n ≥ 1 以使问题有意义），其二进制表示为一个 1 后面跟着 n 个 0
- 例如，如果 b = 16 (2^4)，其二进制为 10000
那么 b - 1 的二进制表示则是由 n 个 1 组成
- 例如，如果 b = 16，那么 b - 1 = 15，其二进制为 01111

所以，b - 1 是一个低位掩码，它的低 n 位全部为 1，而所有更高位都为 0

2. 分析取模运算 a % b

取模运算 a % b 的结果是 a 除以 b 的余数 r根据除法原理，任何非负整数 a 都可以表示为：
a = q * b + r
其中 q 是商，r 是余数，且 0 ≤ r < b
将 b = 2^n 代入，我们得到：
a = q * 2^n + r
在二进制中，乘以 2^n 相当于左移 n 位这意味着 q * 2^n 这个数的二进制表示中，其低 n 位必然全部为 0
因为 0 ≤ r < b，即 0 ≤ r < 2^n，所以余数 r 的二进制表示最多只需要 n 位
当我们将 q * 2^n 和 r 相加时，由于 q * 2^n 的低 n 位都是 0，所以相加的结果 a 的低 n 位就完全由 r 决定换句话说，a 的低 n 位组成的数就是余数 r

3. 分析按位与运算 a & (b - 1)

我们已经知道 b - 1 是一个低 n 位全为 1，高位全为 0 的掩码
当 a 与 (b - 1) 进行按位与运算时：
- a 的高位部分与 (b - 1) 的高位 0 相与，结果全部为 0
- a 的低 n 位部分与 (b - 1) 的低 n 位 1 相与，结果保持 a 的低 n 位不变
因此，a & (b - 1) 的运算结果就是提取出 a 的低 n 位所代表的数值

4. 结论

因为两者都等于 a 的低 n 位所代表的数值，所以 a % b == a & (b - 1)

证明完毕

举例验证：

取模运算：
21 % 16 = 5

按位与运算：

  10101  (a = 21)
& 01111  (b - 1 = 15)
---------
  00101  (结果为 5)

两者结果相等，定理成立