leetcode643：子数组最大平均数 I（滑动窗口入门之定长滑动窗口）

学习完二叉树的大部分基本功后，接下来我们来学习一种非常重要且应用广泛的算法思想—— 滑动窗口 (Sliding Window)。我们将通过一道经典的入门题 LeetCode 643 ： 子数组最大平均数 I 【难度：简单；通过率：44.1%】来开始。这道题是“定长滑动窗口”的完美示例

一、 题目描述

给你一个由 n 个元素组成的整数数组 nums 和一个整数 k

请你找出平均数最大且 长度为 k 的连续子数组，并输出该最大平均数。任何误差小于 10^-5 的答案都将被视为正确答案

示例:

输入: nums = [1,12,-5,-6,50,3], k = 4
输出: 12.75
解释: 最大平均数 (12 - 5 - 6 + 50) / 4 = 51 / 4 = 12.75

输入: nums = [5], k = 1
输出: 5.00000

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二、 从暴力解法到滑动窗口

1. 暴力解法

最直观的想法是什么？就是找出所有长度为 k 的连续子数组，分别计算它们的和以及平均数，然后找到其中的最大值

// 暴力解法：为了对比，不推荐
public double findMaxAverage_bruteForce(int[] nums, int k) {
    double maxAvg = -Double.MAX_VALUE;
    // 遍历所有可能的子数组起点
    for (int i = 0; i <= nums.length - k; i++) {
        long sum = 0;
        // 对每个长度为 k 的子数组求和
        for (int j = i; j < i + k; j++) {
            sum += nums[j];
        }
        maxAvg = Math.max(maxAvg, (double) sum / k);
    }
    return maxAvg;
}

效率分析：

• 外层循环 i 遍历了约 N 次
• 内层循环 j 每次都执行 k 次
• 时间复杂度：O(N * k)。当 k 接近 N 时，复杂度接近 O(N²)，效率很低

问题在哪？
我们做了大量的重复计算！在计算 [1, 12, -5, -6] 的和之后，为了计算下一个子数组 [12, -5, -6, 50] 的和，我们又重新加了一遍 12, -5, -6

2. 滑动窗口

滑动窗口思想的核心就是避免重复计算。我们可以想象有一个长度固定为 k 的“窗口”在数组上滑动

• 当窗口向右滑动一格时，我们不需要重新计算窗口内所有元素的和
• 我们只需要：
  1. 加上新进入窗口的元素
  2. 减去刚离开窗口的元素

这样，每次移动窗口，我们都只需要进行一次加法和一次减法，时间复杂度是 O(1)

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三、 滑动窗口的实现步骤

1. 初始化第一个窗口：计算数组前 k 个元素的和，得到第一个窗口的和 windowSum。同时，用 windowSum 初始化 maxSum
2. 滑动窗口：从第 k 个元素开始遍历数组（索引从 k 到 n-1）
   • 对于每个新元素 nums[i]，它将进入窗口
   • 同时，元素 nums[i-k] 将离开窗口
   • 更新窗口的和：windowSum = windowSum + nums[i] - nums[i-k]
   • 每次更新后，都用新的 windowSum 与 maxSum 比较，并保留较大者
3. 计算结果：遍历结束后，maxSum 就是所有长度为 k 的子数组中的最大和。将其除以 k，即可得到最大平均数

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四、 代码实现 (最佳实践)

class Solution {
    public double findMaxAverage(int[] nums, int k) {
        // 1. 初始化第一个窗口的和
        long windowSum = 0;
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            windowSum += nums[i];
        }
      
        // 用第一个窗口的和来初始化 maxSum
        long maxSum = windowSum;

        // 2. 滑动窗口
        // 从第 k 个元素开始，作为新进入窗口的元素
        for (int i = k; i < nums.length; i++) {
            // 更新窗口的和：加上新元素，减去旧元素
            // 新元素是 nums[i]，旧元素是 nums[i-k]
            windowSum = windowSum + nums[i] - nums[i-k];
          
            // 更新 maxSum
            maxSum = Math.max(maxSum, windowSum);
        }

        // 3. 计算并返回最大平均数
        return (double) maxSum / k;
    }
}

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五、 关键点与复杂度分析

• 定长窗口：本题的窗口长度 k 是固定的，这是最简单的滑动窗口模型（定长滑动窗口，后面我们会继续进阶高难度的滑动窗口）
• 双指针思想：滑动窗口的本质是“双指针”思想的一种应用。我们可以想象一个左指针 left 和一个右指针 right 维护着这个窗口。当右指针向右移动时，左指针也以相同的速度向右移动，从而保持窗口大小不变
• 数据类型：在计算和时，使用 long 类型的 windowSum 和 maxSum 是一个好习惯，可以防止当数组元素和 k 都很大时可能发生的整数溢出
• 时间复杂度：O(N) 我们只需要对数组进行一次完整的遍历
• 空间复杂度：O(1) 我们只使用了几个额外的变量来存储和，没有使用与输入规模相关的额外空间