Cutmull-Rom Spline笔记和个人理解_catmull-rom spline-优快云博客

一、Spline理解

从简单的Bezier样条曲线开始：

一阶Bezier曲线：线性插值

给定两个点 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ ，有：

$B(t)=(1-t)P_0+tP_1$

where, $0\leq t\leqslant 1$ 。

可以想象这是从点 $P_{0}$ 走向  $P_{1}$ 的过程，就是一条直线上的点。

二阶Bezier曲线：插值的插值

给定三个点 $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $P_2$ ，进行两步操作：

1、对两对相邻点做线性插值，有：

$A_0(t)=(1-t)P_0+tP_1$

$A_1(t)=(1-t)P_1+tP_2$

2、对插值出来的两个点再做插值，有

$B(t)=(1-t)A_0+tA_1$

可以理解成：在第一步中，我们获得了两条“线上的点”随着时间t变化的轨迹，第二步是让这两个点之间再随着时间变化做插值。

数学公式就是：

$B(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2$

三阶Bezier曲线：

一阶贝塞尔曲线是：两点之间的滑动点
二阶贝塞尔曲线是：两个滑动点之间的滑动点
三阶贝塞尔曲线是：两个“两个滑动点之间的滑动点”之间的滑动点

二、Catmull-Rom Spline

是一种分段插值样条（通过其控制点的曲线），由四个控制点控制： $P_{0}$ ， $P_{1}$ ， $P_2$ ， $P_3$ ，曲线仅从 $P_{1}$ 到 $P_2$ 。

令 $\mathbf{P}_i = \begin{bmatrix} x_i \ y_i \end{bmatrix}$ 表示一个点。对于曲线段 $\mathbf{C}$ 由点 $\mathbf{P}_0, \mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2, \mathbf{P}_3$ 和节点序列 $t_0, t_1, t_2, t_3$ ，向心 Catmull–Rom 样条可以通过以下方式生成：

$\mathbf{C} = \frac{t_2 - t}{t_2 - t_1} \mathbf{B}_1 + \frac{t - t_1}{t_2 - t_1} \mathbf{B}_2$

$\mathbf{A}_1 = \frac{t_1 - t}{t_1 - t_0} \mathbf{P}_0 + \frac{t - t_0}{t_1 - t_0} \mathbf{P}_1$

$\mathbf{A}_2 = \frac{t_2 - t}{t_2 - t_1} \mathbf{P}_1 + \frac{t - t_1}{t_2 - t_1} \mathbf{P}_2$

$\mathbf{A}_3 = \frac{t_3 - t}{t_3 - t_2} \mathbf{P}_2 + \frac{t - t_2}{t_3 - t_2} \mathbf{P}_3$ ，

$\mathbf{B}_1 = \frac{t_2 - t}{t_2 - t_0} \mathbf{A}_1 + \frac{t - t_0}{t_2 - t_0} \mathbf{A}_2$

$\mathbf{B}_2 = \frac{t_3 - t}{t_3 - t_1} \mathbf{A}_2 + \frac{t - t_1}{t_3 - t_1} \mathbf{A}_3$ ，

$t_{i+1} = t_i + \left \| P_{i+1} - P_i \right \|^{\alpha}$

从节点序列的角度解释一下：曲线C的插值过程可以看作参数 $t$ 从 $t_1$ 到 $t_2$ 插值出路径点，构造

$C(t), t \in [t_1,t_2]$

因为我们希望参数 t 能反应控制点之间的距离变化，从而在插值时保持曲线的匀速或自然感，所以通过参数 $\alpha \in[0,1]$ ,来控制插值参数t。

当 $\alpha$ = 0 时，参数间隔均匀，如果两点之间距离很短，那么插值时它会以同样的“时间”穿过，导致曲线抖动，而如果 $\alpha$ =0.5之类的与距离相关的参数，就能缓解这种问题。

Barry和Goldman的金字塔公式

总结一下流程

1. 选择 4 个点 $P_0, P_1, P_2, P_3$ ;

2. 构造 knot 序列 $t_0, t_1, t_2, t_3$ ，常用 centripetal: $t_{i+1} = t_i + \|P_{i+1} - P_i\|^{0.5}$ ;

3. 对于任意 $t \in [t_1, t_2]$ ，递推计算一次插值 $A$ ，再计算二次插值 $B$ ，最后得到三次插值 $C$ ;

4. 重复对每段进行插值，可以绘制整条样条曲线。

三、CR 样条和 Bézier 曲线和 B 样条的区别

	Catmull-Rom Spline（CR样条）	Bézier 曲线	B样条
类型	一种插值样条曲线，一定通过控制点	一种逼近型样条曲线，不一定经过控制点（除了首尾点），而是由控制点“牵引”形状。	逼近型样条曲线，分段连续多项式构造
基函数	分段三次样条，每段用 4 个点	Bernstein 多项式	De Boor-Cox 公式递归生成
曲线构建方式	每两点之间生成一段曲线	整个曲线由一组控制点决定	分段连续多项式，而且在全曲线上有限阶可导/连续
性质	改一点只影响相邻2段	全局性：无法对曲线形状进行局部控制，改变任一控制点位置时，整个曲线均受到影响。端点性：曲线只经过两个端点的控制点（起点和终点），其它所有点只是逼近，一般不经过。	局部性：k阶曲线上的一点至多与k个控制点有关，与其它控制点无关。不一定经过控制点整条曲线有一个完整的表达形式，在有限阶内都十分平滑，但内在的量却是分段的