codeforces698C. LRU 容斥原理 概率Dp 状压Dp

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分析

题目大意：给你一个初始为空的队列和$n$个数，每一轮每个数有$p_i$的概率被选中。如果这个数不在队列中就把它放到队尾，否则什么都不会发生。如果当前队列大小$>k$，就把队首弹出去。求操作$100^{100}$之后每个数出现的概率。
$100^{100}\iff \infty$
考虑某个数在队列的情况，那么在其之后的放的数的种类不能超过$k-1$
如果我确定了出现的数$a_1{a}_2\cdots a_k$
令$x=\sum p_{a_k}$
那么每一个数可出现与可不出现的概率就是
$x+x^2+x^3+\cdots x^{\infty }=\frac{x}{1-x}$
那么对于一个数$i$，求先出现一个$i$
答案就是$p_i(1+x^2+\cdots x^{\infty })=\frac{p_i}{1-x}$
但是由于这个概率包括了出现和不出现的情况，而我们要求的是大小为$0\cdots k$的所有集合的答案，所以要容斥。
大小为$k$的集合会被它的所有超集重复枚举一次，所以容斥系数就是$u[k]{\sum }_{j=k+1}u[j]C_{n-k}^{j-k}$
其中$C_{n-k}^{j-k}$表示$k$的大小为$j$的超集个数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 1 << 20;
int ri() {
	char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
	for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int c[22][22], pw[22], cnt[N], n, k;
double u[22], p[22], sum[N];
int main() {
	n = ri(); k = ri();
	pw[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n; ++i)
		pw[i] = pw[i - 1] << 1;
	for(int i = 0;i < n; ++i)
		scanf("%lf", &p[i]), sum[pw[i]] = p[i];
	c[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n; c[i++][0] = 1)
		for(int j = 1;j <= i; ++j)
			c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + c[i - 1][j];
	for(int s = 1;s < pw[n]; ++s)
		sum[s] = sum[s ^ (s&-s)] + sum[s&-s], cnt[s] = cnt[s >> 1] + (s & 1);
	for(int i = k - 1; ~i; --i) {
		u[i] = 1;
		for(int j = i + 1; j < k; ++j)
			u[i] -= u[j] * c[n - 1 - i][j - i];
	}
	for(int i = 0;i < n; ++i) {
		if(!p[i] || p[i] == 1 || k == 1) {printf("%.9lf ", p[i]); continue;}
		double ans = 0;
		for(int s = 0;s < pw[n]; ++s)
			if((~s & pw[i]) && cnt[s] < k)
				ans += u[cnt[s]] / (1 - sum[s]);
		printf("%.9lf ", p[i] * ans);
	}
	return 0;
}