[Codeforces698C]LRU（概率dp）

最新推荐文章于 2025-06-20 11:22:32 发布

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该博客探讨了Codeforces698C问题，涉及LRU缓存策略。当缓存大小为k，从n种物品中按概率选择放入，已存在的物品不再放入，满则替换最久未使用的物品。博主分析了在进行大量操作后，物品存在于缓存中的概率，并通过概率动态规划（dp）给出解题思路和转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

传送门
题意：有一个大小为k的缓存区,每次从n种物品中按照一定的概率选取一种物品尝试放进去.同一个物品每一次选取的概率都是相同的.如果这种物品已经放进去过就不再放进去.如果缓存区满了就把放进去的时间离现在最远的物品拿出来.问10^100次后每个物品在缓冲区中的概率.

题解

$10^{100}$ 趋近于 $+\infty$ ，也就是说，做很多很多次之后，缓存区一定是满的，缓存区不满的概率趋近于0
因为操作的次数太多，实际上刚开始的操作都是没有用的，我们可以倒着考虑，问题就变成了每一次选一种加入，加满就停止的概率
有了这个转化，就可以dp了

f(i)表示缓存区的状态为i的概率，那么 $f(i|2^{j-1})=\sum\limits_{j\notin i}f(i)*p(j)+f(i|2^{j-1})*\sum\limits_{j\in i|2^{j-1}}p(j)$ ，移项整理得转移方程。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 25

double eps=1e-12;
int n,m,k;
double p[N],ans[N],cnt[1<<21],f[1<<21];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&k);m=n;
    for (int i=0;i<n;++i)
    {
        scanf("%lf",&p[i]);
        if (p[i]<eps) --m;
    }k=min(k,m);
    f[0]=1;
    for (int i=0;i<1<<n;++i)
    {
        int cnt=0;double now=0;
        for (int j=0;j<n;++j)
            if ((i>>j)&1) ++cnt,now+=p[j];
        if (cnt==k)
        {
            for (int j=0;j<n;++j)
                if ((i>>j)&1) ans[j]+=f[i];
            continue;
        }
        if (cnt>k) continue;
        f[i]/=1-now;
        for (int j=0;j<n;++j)
            if (!((i>>j)&1)) f[i|(1<<j)]+=f[i]*p[j];
    }
    for (int i=0;i<n;++i) printf("%.16lf%c",ans[i]," \n"[i==n-1]);
}