二维曲线拟合

一.相关基础理论知识

最近在学习这方面的知识，本文为网上资料的总结和自己的一些代码验证。
我们根据平面上的一些离散点绘制出一条近似曲线。如果曲线通过所有点，称为插值；如果曲线不一定通过点，而是以某种方式逼近这些点，称为拟合。
构造拟合曲线，通常有以下几种方法：
（1）最小二乘法；
（2）分段拟合法；
（3）…

1. 最小二乘法

根据解的存在情况，线性方程可以分为：

1. 有唯一解的恰定方程组；
2. 解不存在的超定方程组；
   (Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m,方程组没有精确解,常用于数据拟合)；
3. 有无穷多解的欠定方程组；
   (Ax=b，A为n×m矩阵，如果A行满秩，且n<m)；

在MATLAB中求解超定方程，有以下几种方法：

1. 左除是建立在奇异值分解基础之上得到最小二乘法的解，因此最可靠；

x=A\b;

2. 最小二乘法求解;

x=lsqnonneg(A,b);

3. 广义逆，解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解;

x=pinv(A);

2. 广义逆（伪逆矩阵）

广义逆法（伪逆矩阵）是建立在对原超定方程直接进行 householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与（SVD）奇异值求解，但速度较快；以B=pinv(A)为例，函数返回矩阵A的伪逆矩阵。如果矩阵A是可逆（非奇异）的，那么pinv(A)与inv(A)的结果是一样的，而且pinv比inv效率低。但如果矩阵A是非方阵或奇异矩阵，则inv(A)不存在，但pinv(A)仍然存在，并表现出一些与逆矩阵类似的性质。

【定义】
令A是任意m x n矩阵，若G满足下述条件（Moore-penrose条件），称矩阵G是A的广义逆矩阵：
（1）GAG = G；
（2）AGA = A；
（3）AG为hermitian矩阵，即（AG）^H=AG；
（4）GA为hermitian矩阵，即（GA）^H=GA；

【测试】
在Matlab中，用以下几种方式求逆：
（1）直接求解：InvA = inv(A’*A)*A’; %求导，令导数为0，结果如下: InvA=(ATA)-1AT
（2）SVD分解：[U,Λ,V]=svd(A)
（3）QR分解：[Q,R]=qr(A)
（4）LU分解：[L,U]=lu(A)

 a=[1 2 3; 4 5 6; 23 3 6];
 b=inv(a);
 c=pinv(a);
 [U,D,V]=svd(a);
 D1