96. Unique Binary Search Trees 类别：动态规划难度：medium

最新推荐文章于 2021-05-17 19:12:35 发布

luoyingmin

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分类专栏：算法课作业

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本文介绍了一种使用动态规划算法解决二叉搜索树计数问题的方法，通过递推公式计算给定数值范围内不同二叉搜索树的总数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路：

利用动态规划算法，并且根据二叉搜索树的特点，用dp[1...n][1...n]来记录结果，dp[m][n]表示将m到n组成二叉搜索树的形态个数，在m和n之间取k为根的话，则m到k-1组成左子树，而k+1到n组成右子树，于是可以写出转移方程dp[m][n] = dp[m][k - 1] * dp[k + 1][n]。

程序：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<vector<int> > dp(n + 1,vector<int>(n + 1,1));
        
        for(int i = 1;i <= n - 1;i++)
        {
            for(int j = 1;j + i <= n;j++)
            {
                dp[j][j + i] = 0;
                for(int k = j + 1;k <= j + i - 1;k++)
                    dp[j][j + i] += dp[j][k - 1] * dp[k + 1][j + i];
                
                dp[j][j + i] += (dp[j + 1][j + i] + dp[j][j + i - 1]);
            }
        }
        return dp[1][n];
    }
};