如何理解矩阵的秩

最新推荐文章于 2025-06-13 09:36:49 发布

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博客介绍了矩阵相关知识，指出属于不同特征值的特征向量线性无关，可通过正交矩阵对角化求特征值和特征向量并施密特正交化。还阐述了矩阵的秩，包括其定义、与图像变换的关系等，说明了矩阵低秩在图像处理中的意义及满秩分解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

属于不同特征值的特征向量线性无关。

特征值分解

正交矩阵对角化，求出特征值，特征向量，然后施密特正交化

https://www.zhihu.com/question/21605094

矩阵的秩：矩阵中所有行向量中极大线性无关组的元素个数。

秩：是图像经过矩阵变换之后的矩阵维度

秩：列空间的维度，行空间的维度，行秩与列秩相等

https://www.zhihu.com/question/28630628

矩阵低秩的意义：

在图像处理中，rank可以理解为图像所包含的信息的丰富程度。不严谨的讲，低秩表征一种冗余程度。秩越低表示数据冗余性越大，因为用很少几个基就可以表达所有数据了。相反，秩越大表示数据冗余性越小。

满秩分解：任何一个矩阵可以分解为一个列满秩和行满秩的矩阵的乘积。

对于一个 m * n 的矩阵，如果秩很低（秩r远小于m，n），则它可以拆成一个 m * r 矩阵和一个 r * n 矩阵之积。后面这两个矩阵所占用的存储空间比原来的 m * n矩阵小得多。

https://www.zhihu.com/question/21874816

如何理解矩阵特征值？

特征值就是拉伸的大小

特征向量指明了拉伸的方向

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https://www.zhihu.com/question/21605094 作者：过拟合链接：https://www.zhihu.com/question/21605094/answer/25213498 来源：知乎著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。首先，讲到矩阵的秩，几乎必然要引入矩阵的SVD分解：X=USV'，U,V正交阵，S是对角阵。如果是完全SVD分解的

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