P4952 [USACO04MAR] Financial Aid 题解

最新推荐文章于 2025-11-24 17:02:03 发布

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文章讲述了如何使用二分法解决USACO竞赛中的FinancialAid问题，目标是最大化中位数奶牛的奖学金，通过比较所需奖学金最少的奶牛组合来判断是否存在满足条件的解。

P4952 [USACO04MAR] Financial Aid 题解

模拟赛考到的题，放到第二题的位置我不是很理解。

解法

一眼二分。因为我们要使中位数最大，所以满足单调性，大答案比小答案更优，可以二分答案。注意到中位数的特点，我们只需要保证在 $n$ 个数中，有 $⌊n2⌋\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ 个数比中位数小， $⌊n2⌋\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ 个数比中位数大就可以了。所以我们按照每头奶牛的分数从小到大排序，二分这个中位数是什么，假设这个中位数对应的奶牛是 $x$ ，我们把 $\cdots x-1$ 这些位置的奶牛拿出来，把 $\cdots c$ 这些位置的奶牛拿出来，在两部分里分别选取 $⌊n2⌋\lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ 个所需奖学金最少的奶牛，加起来看这 $n$ 头奶牛所需奖学金是否不超过 $f$ 。

为什么要取所需奖学金最少的奶牛？我们只需考虑中位数为 $x$ 的情况是否存在，如果设取所需奖学金最少的奶牛时奖学金总数为 $w$ ，如果 $\le f$ ，则中位数为 $x$ 的情况存在，反之，中位数为 $x$ 的情况不存在。

如果不这样做，我们任意选了 $n$ 头奶牛奖学金总数为 $q$ ，这里有 $\le q$ ，如果 $\le f$ ，则中位数为 $x$ 的情况存在，反之，则并不说明中位数为 $x$ 的情况不存在。因为如果 $q > f$ ，不能说明 $w > f$ 。

所以我们要取所需奖学金最少的奶牛。

无解条件特判一下就可以了。

代码

int n,c,f,l,r,mid,ans;
struct cow
{
	int score,money;
	inline bool operator<(const cow &rhs) const
	{
		return money<rhs.money;
	}
};
cow a[100010],tmp[100010];
inline bool cmp(const cow &lhs,const cow &rhs)
{
	return lhs.score<rhs.score;
}
inline bool judge(int x)
{
	int sum=a[x].money;
	for(int i=1;i<=x;i++) tmp[i]=a[i];
	sort(tmp+1,tmp+x);
	for(int i=1;i<=n/2;i++) sum+=tmp[i].money;
	for(int i=x+1;i<=c;i++) tmp[i-x]=a[i];
	sort(tmp+1,tmp+c-x+1);
	for(int i=1;i<=n/2;i++) sum+=tmp[i].money;
	if(sum>f) return false;
	return true;
}
int main()
{
	read(n),read(c),read(f),l=n/2+1,r=c-n/2;
	for(int i=1;i<=c;i++) read(a[i].score),read(a[i].money);
	sort(a+1,a+c+1);
	for(int i=1,sum=0;i<=n;i++)
	{
		sum+=a[i].money;
		if(sum>f)
		{
			cout<<-1;
			return 0;
		}
	}
	sort(a+1,a+c+1,cmp);
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if(judge(mid)) ans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<a[ans].score;
	return 0;
}