Codeforces 597C Subsequences dp + 树状数组

题意

• 给你n的一个排列，问你包含k个数的子序列个数有多少。
• n <= 10^5，k <= 11

思路

• dp
• 状态dp[i][j] 表示前i个数，包含k个数的子序列个数有多少
• f[i][j]表示前i个数，以a[i]结尾的，包含k个数的子序列有多少
• dp[i][j] = dp[i-1][j] + f[i][j] 这个转移很容易想到
• 具体f[i][j]怎么转移，稍微有点麻烦
• f[i][j] = sum f[k][j-1] 其中1<=k < i 且 a[k] < a[i]
• 这个转移也不难理解，但是转移的复杂度是O(n)的了，我们用树状数组来解决问题
• 由于1<=a[i] <= n，所以我们可以以a[i]作为下标建立k个树状数组，第j个树a[i]的位置存f[i][j]，当我们更新f[i]时，此时我们只需查询1~a[i]的前缀和即可，最后再用f[i]更新树的a[i]节点即可

实现

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n,k;
typedef long long ll;
int a[maxn];
ll dp[maxn][12];
ll f[maxn][12];

ll tree[maxn][12];
inline int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void update(int i,ll x,int j)
{
    while(i<=n)
    {
        tree[i][j] += x;
        i += lowbit(i);
    }
}

ll query(int i,int j)
{
    ll ret = 0;
    while(i > 0)
    {
        ret += tree[i][j];
        i -= lowbit(i);
    }
    return ret;
}

int main(){
    cin>>n>>k;
    k++;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][1] = 1;
        dp[i][1] = i;
    }   
    update(a[1],1,1);
    for (int i=2;i<=n;i++){
        for (int j=min(i,k);j>1;j--){
            f[i][j] = query(a[i],j-1);
            update(a[i],f[i][j],j);
        }
        update(a[i],1,1);
    }
    for (int i=2;i<=n;i++){
        for (int j=2;j<=min(i,k);j++){
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + f[i][j];
        }
    }
    cout << dp[n][k] << "\n";
    return 0;
}