7、曲线拟合：原理、评估与实践

曲线拟合：原理、评估与实践

1. 误差与权重的关系

在曲线拟合中，误差 $\sigma_i$ 与权重 $w_i$ 存在如下关系：$\sigma_i = \frac{\alpha}{w_i}$，其中 $\alpha$ 用于根据权重计算统计误差。权重越大，对应的统计误差越小，二者通过常数因子 $\alpha$ 成反比。若仅知道权重，$\alpha$ 未知，但可通过 $\chi^2_{red}$ 值进行合理估计：
$\chi^2_{red} (a_1,\cdots,a_L) = \frac{\chi^2(a_1,\cdots,a_L)}{K - L} = \frac{1}{K - L} \sum_{i = 1}^{K} \left(\frac{y_i - f(x_i,a_1,\cdots,a_L)}{\sigma_i}\right)^2 \approx 1$
进一步推导可得：
$\frac{1}{K - L} \sum_{i = 1}^{K} \left(\frac{y_i - f(x_i,a_1,\cdots,a_L)}{\frac{\alpha}{w_i}}\right)^2 = \frac{1}{\alpha^2(K - L)} \sum_{i = 1}^{K} w_i^2 (y_i - f(x_i,a_1,\cdots,a_L))^2 \approx 1$
从而得到 $\alpha$ 的近似值：
$\alpha \approx \sqrt{\frac{1}{(K - L)} \sum_{i = 1}^{K} w_i^2 (y_i - f(x_i,a_1,\cdots,a_L))^2}$

在实际应用中，常使用此方法校正 $xy$ 误差数据的误差 $\