【机器人】控制之稳定性判定: 李雅普诺夫Lyapunov (2) 如何设计李（李雅普诺夫）函数

系统模型和构造 Lyapunov 函数之间是有关系的，但这种关系并不是唯一的，也就是说，构造 Lyapunov 函数需要参考系统模型的特性，但可以有多种选择。以下从理论和实践两方面解释它们的关系。

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理论上的关系

1. 系统模型给出动态行为： 系统模型描述了状态变量随时间的变化规律，通常形式为：

   

   Lyapunov 函数的构造需要反映系统模型的动力学特性，特别是状态变量如何影响系统的能量或“势能”变化。

2. Lyapunov 函数与系统的稳定性相关联： 系统模型定义了状态变量的演化规则，Lyapunov 函数需要对系统的动力学特性进行评估，例如：

   • 是否有自然的能量形式（如机械系统中的动能、势能）；
   • 平衡点周围的状态变化趋势（例如趋近或离开平衡点的速度）。

3. 构造 Lyapunov 函数的指导原则来自系统模型：

   • 如果系统是线性的，可以借助二次型函数（如 ，其中 P > 0 是对称正定矩阵）。
   • 如果系统是非线性的，则 Lyapunov 函数通常需要依赖系统模型的非线性项构造，以捕捉其特性。

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实践中的关系

在实际构造中，Lyapunov 函数和系统模型的关系主要体现在以下方面：

1. 选择基于能量的函数：

• 如果系统具有能量物理意义（如机械系统、电气系统），可以自然地选择能量形式作为 Lyapunov 函数。
• 例如，单摆系统 θ¨+sin⁡θ=0\ddot{\theta} + \sin\theta = 0 的 Lyapunov 函数可以选择总能量：

2. 利用线性化模型：

3. 试探法：

4. 结合控制目标：

• 如果系统设计了反馈控制器，Lyapunov 函数可以参考控制器的结构，验证闭环系统的稳定性。

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Lyapunov 函数与系统模型是否无关？

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总结

• 有关系：Lyapunov 函数的构造需要参考系统模型，反映系统的动态特性。
• 不唯一：一个系统模型可以有多种形式的 Lyapunov 函数，具体选择取决于问题背景、物理意义或数学便利性。