信息学奥赛一本通 1912：【00NOIP普及组】乘积最大 | 1821 | OpenJudge NOI 2.6 8782:乘积最大 | 洛谷 P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大

【题目链接】

ybt 1912：【00NOIP普及组】乘积最大
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OpenJudge NOI 2.6 8782:乘积最大
洛谷 P1018 [NOIP2000 提高组] 乘积最大

【题目考点】

1. 动态规划：区间动规

2. 高精度

【解题思路】

0. 分析结果的最大值

在一个最多40位数中，插入最多6个乘号，有最多7个数字相乘。
可以肯定结果会超出long long可以表示的范围，因此本问题需要使用高精度数字。

1. 处理得到第i位到第j位截取出的数字

预先处理，num[i][j]（高精度数字）表示该数字从第i位到第j位截取出的数字。
将输入的数字m取第i位到第j位填充到另一个高精度数字的数组中，即可获得该数字。

2. 状态定义

集合：在数字中插入乘号的方案
限制：看前几位数字，使用几个乘号
属性：乘积
条件：最大
统计量：乘积
状态定义：dp[i][j]：（高精度数字）在前i位数字中插入j个乘号能得到的最大乘积。
初始状态：dp[i][0]：前i位数字中插入0个乘号，乘积就是这i位数字。dp[i][0] = num[1][i]

3. 状态转移方程

集合：在前i位数字中插入j个乘号的方案
分割集合：根据第j个乘号插入位置的不同情况分割集合
因为第j个乘号前面还有j-1个乘号，最密集插入乘号，每两个乘号间有1位数字，第j-1个乘号会在第j-1位数字的后面。第j个乘号可能的最靠前的位置，为第j位数字的后面。
第j个乘号可以取到的最靠后的位置，为第i-1位数字的后面。
假设第j个乘号在第h位数字的后面，那么第j乘号后面的数字，为第h+1位到第i位组成的数字。
h从j遍历到i-1，先求出前h位数字中插入j-1个乘号能得到的最大乘积(dp[h][j-1])，再乘以第h+1位到第i位组成的数字(num[h+1][i])，得到前i位数字插入j个乘号的最大乘积：dp[i][j] = dp[h][j-1]*num[h+1][i]（高精乘高精）。对所有可能的情况取最大值（高精度数字比较）。

本题将一段数字分为前半段（前h位数字插入j-1个乘号）与后半段（数字num[h+1][i]），类似于区间动规中遍历断点，将一个大区间拆分为小区间的思想。

【题解代码】

解法1：高精度 区间动规

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 50
struct HPN
{
    int a[N];
    HPN()
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    HPN(string s)//字符串初始化高精度数字 
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        a[0] = s.length();
        for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
            a[i] = s[a[0]-i] - '0';
    }
    int& operator [] (int i)//左值 注意返回值为引用 
    {
        return a[i];
    } 
    HPN sub(int i, int j)//截取本数字低位第i位到高位第j位构成一个新的数字
    {
        int ai = 0;
        HPN r;
        for(int k = i; k <= j; ++k)
            r[++ai] = a[k];
        r[0] = ai;
        return r;
    }
    HPN operator * (HPN b)//高精乘高精 
    {
        HPN r;
        int c;
        for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)
        {
            c = 0;
            for(int j = 1; j <= b[0]; ++j)
            {
                r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;
                c = r[i+j-1] / 10;
                r[i+j-1] %= 10;
            }
            r[i+b[0]] += c;
        }
        int ri = a[0] + b[0];
        while(r[ri] == 0 && ri > 1)
            ri--;
        r[0] = ri;
        return r;
    }
    void show()
    {
        for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
            cout << a[i];
        cout << endl;
    } 
};
HPN dp[N][N], num[N][N];//dp[i][j]：在前i位数字中插入j个乘号能得到的最大乘积。
string s;//数字串 
int n, k;
HPN Max(HPN a, HPN b)//比较两个高精度数字，返回较大值 
{
    if(a[0] > b[0])
        return a;
    else if(a[0] < b[0])
        return b;
    else
    {
        for(int i = a[0]; i >= 1; --i)
        {
            if(a[i] > b[i])
                return a;
            else if(a[i] < b[i])
                return b;
        }
        return a;//相等的情况 
    }
}
void initNum(HPN m)//初始化num数组 
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i)//从高位数第i位为从低位数第n-i+1位 
        for(int j = i; j <= n; ++j)//高位数第j位为从低位数第n-j+1位
            num[i][j] = m.sub(n-j+1, n-i+1);//num[i][j]：表示该数字从高位数第i位到第j位截取出的数字。n-j+1是低位，n-i+1是高位，sub成员函数先传低位，再传高位，截取数字。 
}
int main()
{
    cin >> n >> k >> s;//s为数字串
    initNum(HPN(s));//用数字串构造出高精度数字，初始化num数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i)//初始状态 
        dp[i][0] = num[1][i];//前i位数字中插入0个乘号，乘积就是这i位数字
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 1; j <= k; ++j) 
            for(int h = j-1; h < i; ++h)
                dp[i][j] = Max(dp[i][j], dp[h][j-1]*num[h+1][i]);//高精乘高精，两个高精度数字取最大值 
    dp[n][k].show();
	return 0;
}