洛谷P3399丝绸之路【DP】【黄】

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#动态规划 #算法 #c++

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这篇博客介绍了一个关于小仓鼠通过丝绸之路旅行的问题，其中涉及到在不同天气条件下选择移动或休息以最小化疲劳值的动态规划算法。输入包括城市间的距离和每天的气候恶劣值，输出是最小的疲劳值。博主给出了问题的解决方案和代码实现，重点讨论了状态转移方程和初始状态的设定。

Date：2022.03.15
题目描述
小仓鼠带着货物，从中国送到安息，丝绸之路包括起点和终点一共有N+1个城市，0号城市是起点长安，N号城市是终点巴格达。要求不超过M天内必须到达终点。一天的时间可以从一个城市到连续的下一个城市。从i-1城市到i城市距离是Di。
大家都知道，连续赶路是很辛苦的，所以小仓鼠可以在一个城市时，可以有以下选择：
移动：向下一个城市进发
休息：呆在原来的城市不动
沙漠天气变化无常，在天气很不好时，前进会遇到很多困难。我们把M天的第j(1<=j<=M)天的气候恶劣值记为Cj。从i-1城市移动到i城市在第j天进发时，需要耗费Di*Cj的疲劳度。
不过小仓鼠还是有选择权的，可以避开比较恶劣的天气，休息是不会消耗疲劳值的。现在他想知道整个行程最少要消耗多少疲劳值。
输入格式
第一行2个整数N，M
连续N行每行一个整数Dj
连续M行每行一个整数Cj
输出格式
一个整数，表示最小疲劳度
输入输出样例
输入 #1复制
3 5
10
25
15
50
30
15
40
30
输出 #1复制
1125
说明/提示
加粗样式本题时限1s，内存限制128M，因新评测机速度较为接近NOIP评测机速度，请注意常数问题带来的影响。
第1天休息
第2天0->1 疲劳值 10 × 30 = 300 ．
第3天1->2 疲劳值 25 × 15 = 375 ．
第4天休息
第5天2->3 疲劳值 15 × 30 = 450 ．
1 ≦ N ≦ M ≦ 1000
1 ≦ Di , Ci ≦ 1000

思路： $f [i] [j]$ ：走到 $i$ 号已用 $j$ 天的最小疲惫数。
状态转移方程： $f [i] [j] = m i n (f [i] [j - 1], f [i - 1] [j - 1] + a [i] * b [j]);$
初始状态： $f [0] [i] = 0;$
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
typedef long long LL;
LL n,m,p,k,t,a[N],b[N],f[N][N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=m;i++) cin>>b[i];
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    for(int i=0;i<=m;i++) f[0][i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=m;j++)
            f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i-1][j-1]+a[i]*b[j]);
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}