cf1452 Educational Round 98 Div2-D【DP+同余】

Date：2022.01.15
题意：有$n+2$个塔编号从$[0,n+1]$，在每个塔上建一个通讯器的概率都是$\frac{1}{2}$，设每个通讯器传送半径为$p$，所在下标为$i$，即能传送讯息给$[i-(p-1),i+(p-1)]$中的所有元素。要求：
①不能给下标为$0$和$n+1$的塔传送消息。
②给下标为$[1,n]$的所有塔都能收到消息，且只收到$1$次。
求方案数。

思路：设$f[i]$：不包含塔$0、n+1$，且长度为$i$的方案数。求当前$f[i]$时分别让$1...\lceil \frac{n}{2}\rceil$处的$p$满足向左取到$1$，只有这样右边才不会取到$n+1$，再依次累加每一类的方案数。
①$f[1]:1$，$i=1，只有这1种方案，贡献1。$
②$f[2]:f[1]$。$i=1，占[1,1]，其右边相当于f[1]种方案$。
③$f[3]:f[2]+1$。$i=1，占[1,1]，其右边相当于f[2]种方案;i=2，占[1,3]，仅1种可能$。
④$f[4]:f[3]+f[1]$。$i=1，占[1,1]，其右边相当于f[3]种方案;i=2，占[1,3]，其右边相当于f[1]种方案$。
⑤$f[5]:f[4]+f[2]+1$。$i=1，占[1,1]，其右边相当于f[4]种方案;i=2，占[1,3]，其右边相当于f[2]种方案;i=3，占[1,5]，只有这1种方案。$
…
因此可归纳得到：

$f[i]={\sum }_{k=0}^{\lfloor \frac{i-1}{2}\rfloor }f[i-2\cdot k-1]$

将$i$分奇偶，再次将右边所有项归纳，不难得出：

$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$

由此便求出所有$f[i]$。
因此答案即为：

$f[n]\ast \frac{1}{2^n}\%998244353$

即一个斐波那契数列，但由于每种方案的概率都是$\frac{1}{2^n}$，因此要除$\frac{1}{2^n}$。除法取模涉及同余，因此要找$2^n$在$mod998244353$意义下的逆元。又因为$998244353$为质数，因此$(2^n,998244353)==1$，费马小定理+快速幂求解。
代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e5+10,mod=998244353;
typedef long long LL;
LL a[N],f[N];
LL qmi(LL a,LL k,LL p)
{
    LL res=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    LL n;cin>>n;
    f[1]=f[2]=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    cout<<f[n]*qmi(qmi(2,n,mod),mod-2,mod)%mod<<' ';
    return 0;
}