代码随想录 Day 45 | 【第九章动态规划part 08】121. 买卖股票的最佳时机、122.买卖股票的最佳时机II、123.买卖股票的最佳时机III

一、121. 买卖股票的最佳时机

121. 买卖股票的最佳时机

视频讲解：动态规划之 LeetCode：121.买卖股票的最佳时机1_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 解题思路

（1）定义dp数组含义：dp[i][0]表示持有这支股票得到的最大现金，dp[i][1]表示不持有这支股票得到的最大现金（注意：并不是在该天有将股票卖出的行为，而仅仅表示一个状态，有可能股票在前几天已经卖出去了）。

（2）递推公式：

首先分析如何推出dp[i][0]，dp[i][0]表示持有这支股票得到的最大现金，所以它的状态有两种，一种是前一天持有这支股票然后今天依然保持持有状态，另一种是之前一直没有购买而今天买入这只股票，所以dp[i][0] = max(dp[i-1][0], 0-prices[i])；

其次分析dp[i][1]，表示不持有这支股票得到的最大现金，依旧是两种状态，一种是前一天不持有这支股票然后今天依然保持不持有状态，另一种是在第i天卖出这只股票，所以dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])。

（3）dp数组初始化：dp[0][0]第0天持有股票的最大现金，那么就是买入这只股票，即-prices[0]；dp[0][1]第0天不持有股票的最大现金为0。

（4）遍历顺序：从前向后遍历，因为依赖于前面的状态。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if length == 0:
            return 0
        dp = [[0]*2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])
        return dp[-1][1]

二、122.买卖股票的最佳时机II

122.买卖股票的最佳时机II

视频讲解：动态规划，股票问题第二弹 | LeetCode：122.买卖股票的最佳时机II_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 与 I 的区别

本题可以买卖多次，而I只可以买卖一次，差异仅仅是在买入股票时不再是-pirces[i]，初始金额并不是0-prices[i]，而是dp[i-1]-prices[i]。

2. 代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if length == 0:
            return 0

        dp = [[0]*2 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = -prices[0]
        dp[0][1] = 0
        
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i])
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i])
        return dp[-1][1]

三、123.买卖股票的最佳时机III

这道题一下子就难度上来了，关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

视频讲解：动态规划，股票至多买卖两次，怎么求？ | LeetCode：123.买卖股票最佳时机III_哔哩哔哩_bilibili

代码随想录

1. 解题思路

本题与Ⅰ、Ⅱ的区别：至多买卖两次收获的最大利润是多少。

（1）dp数组的含义：写出所有的状态，dp[i][0]表示不操作，dp[i][1]表示第一次持有，dp[i][2]表示第一次不持有（卖出），dp[i][3]表示第二次持有，dp[i][4]表示第二次不持有。

（2）递推公式：

dp[i][0]是不操作，那么就是前一天状态推导得到的，所以dp[i][0] = dp[i-1][0]；

dp[i][1]表示第一次持有，既可以延续前一天买入的状态，也可以表示第i天买入，所以dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])；

dp[i][2]表示第一次不持有（卖出），延续前一天不持有的状态，也可以第i天卖出，所以dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i])；

dp[i][3]表示第二次持有，既可以是前一天持有，也可以是前一天不持有但今天买入，所以dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]+prices[i])；

dp[i][4]表示第二次不持有，既可以延续前一天不持有，也可以第i天卖出，所以dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i])。

（3）dp数组初始化：

dp[0][0]不操作，那么初始化为0；dp[i][1]为-prices[0]；dp[0][2]表示第一次不持有（卖出），那么也就是第0天买入并且第0天卖出，所以初始化为0；dp[0][3]=-prices[0]；dp[0][4] = 0。

（4）遍历顺序：从小到大遍历。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length = len(prices)
        if length == 0:
            return 0
        dp = [[0]*5 for _ in range(length)]
        dp[0][0] = 0
        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][2] = 0
        dp[0][3] = -prices[0]
        dp[0][4] = 0
        for i in range(1, length):
            dp[i][0] = dp[i-1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i])
        return dp[-1][4]