代码随想录 Day 39 | 【第九章动态规划 part 03】01背包问题二维、01背包问题一维、416. 分割等和子集-优快云博客

一、01背包问题二维

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视频讲解：带你学透0-1背包问题！| 关于背包问题，你不清楚的地方，这里都讲了！| 动态规划经典问题 | 数据结构与算法_哔哩哔哩_bilibili

1. 具体思路

（1）dp数组的含义：dp[ i ][ j ]二维数组表示下表[0, i]之间的物品任取放入容量为 j 的背包里。

（2）递推公式：dp[ i ][ j ]取决于是否放当前的物品 i ，如果不放物品 i ，那么当前状态的最大价值为dp[i-1][j]；如果放物品 i ，那么当前状态为不放物品i，并且背包的容量也减去物品i的容量之后所能放的最大价值，再加上物品i的价值。因为当前要求最大价值，所以取最大值。dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])

（3）dp数组初始化：通过画图找到递推公式的变化方向，可以发现递推公式的变化方向分别来自上方和对角线，所以通过初始化最上方和最左边，对角线就可以推导出来。

dp数组初始化需要明确dp数组的含义。例如初始化最左边，它的含义是背包容量为0，放物品0、1、2、...、j的最大价值是多少，显然最大价值为0，初始化为0，因为背包容量为0。初始化最上方，它的含义是背包容量为0、1、2、...、i分别放物品0的最大价值是多少，物品0的容量为多少，前面的值为0（因为放不下），而后面的值全部初始化为物品0的价值。因此用0初始化最左列，用物品0的价值初始化最上面那一行。

非0下标应该初始化为多少：由于其他位置都是由递推公式（前一个状态）得到的，所以初始化为任意值均可以。

（4）遍历顺序：两层for循环，一个for遍历物品，一个遍历容量。本题先遍历物品，还是遍历背包对于二维实现均可以。

（5）打印数组。

2. 代码实现

n, bagweight = map(int, input().split())

weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(n)]

for j in range(weight[0], bagweight + 1):
    dp[0][j] = value[0]

for i in range(1, n):
    for j in range(bagweight + 1):
        if j < weight[i]:
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

print(dp[n - 1][bagweight])

二、01背包问题一维

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视频讲解：带你学透01背包问题（滚动数组篇） | 从此对背包问题不再迷茫！_哔哩哔哩_bilibili

1. 具体思路

（1）dp数组的含义：dp[j]表示容量为j的背包所背的最大价值为dp[j]。

（2）递推公式：由于一维数组解法的本质是滚动数组，所以不放物品i的当前层为dp[j]（此时的dp[j]尚未更新，所以拷贝上一层数据的值）。如果放物品[i]，那么减去i的重量，加上i的价值。然后二者取最大值max即可。

（3）dp数组初始化：背包容量为0，那么最大价值为0，所以dp[0] = 0。非0下标初始化为非0最小值（1.不能小于0；2.由于需要比较max大小），因此初始化为0。

（4）遍历顺序：a. 倒序遍历背包：为了防止一个物品添加多次所以只能使用倒序遍历。b. 为什么先遍历物品再遍历背包，不可颠倒：因为遍历倒序背包，如果颠倒两个嵌套，那么只会遍历一个物品。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

n, bagweight = map(int, input().split())
weight = list(map(int, input().split()))
value = list(map(int, input().split()))

dp = [0] * (bagweight + 1)  # 创建一个动态规划数组dp，初始值为0

dp[0] = 0  # 初始化dp[0] = 0,背包容量为0，价值最大为0

for i in range(n):  # 应该先遍历物品，如果遍历背包容量放在上一层，那么每个dp[j]就只会放入一个物品
    for j in range(bagweight, weight[i]-1, -1):  # 倒序遍历背包容量是为了保证物品i只被放入一次
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

print(dp[bagweight])

三、416. 分割等和子集

本题是 01背包的应用类题目

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视频讲解：动态规划之背包问题，这个包能装满吗？| LeetCode：416.分割等和子集_哔哩哔哩_bilibili

1. 具体思路

整体思路：将传入的数组计算总和并且除以2，将该题抽象为一个背包问题，也就是问一个背包能不能装满数组总和除以2的物品，如果可以就return true。注意本题要求每个元素只能使用一次。

（1）定义dp数组的含义：容量为j的背包它所背的最大价值为dp[j]，本题中每个元素既是它的总量也是它的价值。因此如果dp[target] == target，那么背包就被装满了。target等于所有元素相加除以2。

（2）递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i])，因为此处重量和价值是相同的。

（3）dp数组初始化：dp[0] = 0，其他非0 下标初始化为非0整数的最小值，因此也初始化为0，所以全初始化为0。

（4）遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包（因为每个物品只能使用一次所以需要倒序遍历）。

（5）打印dp数组。

2. 代码实现

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        sum = 0
        target = 0
        for i in range(len(nums)):
            sum+=nums[i]
        if sum % 2 == 0:
            target = sum // 2
        else:
            return False
        # dp[j] 表示容量为 j 的背包能装的最大价值（这里价值和重量均为数值本身）
        dp = [0] * (target+1)
        for num in nums:
            for j in range(target, num-1, -1):
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-num]+num)
        return dp[-1] == target