简单的传球游戏（矩阵快速幂） bnuoj49104

简单的传球游戏

 

K(3<=K<=10^9)个人互相传球，某人接球后立即传给别人。假定初始状态球在甲手中，并将甲发球作为第一次传球过程。求经过N(N<=10^9)次传球后，球又回到甲手中的传球方案数，输出这个数模10^9+7后的结果。

Input

第一行是一个整数T(T<=20000)，表示测试数据的组数。

接下来T行，每行输入两个数N,K(3<=K<=10^9,1<= N<=10^9)。

Output

输出T行，每行输出一组N,K对应方案数模10^9+7后的结果。

Sample Input

2
3 3
3 4

Sample Output

2
6

Hint

第一组样例，N=3,K=3，三个人传三次的传球方式是：

1. A->B->C->A

2. A->C->B->A

Source

第十三届北京师范大学程序设计竞赛决赛

Author

sqy

 

 

题目链接：http://www.bnuoj.com/bnuoj/problem_show.php?pid=49104

 

转载自：http://blog.youkuaiyun.com/u010579068 

 

题目意思：有K个人相互传球，从甲开始到甲结束，传N次球。（注，自己不能传给自己）

 

 

 

分析与解答：设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有a[n]种，可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他K-1人中的一人进行传球，也就是每次传球都有K-1种可能，由乘法原理，共有(K-1)^(n-1)种 。这些传球方式并不完全符合条件，分为两类：一类是第n-1次恰好传到甲手中，有a[n-1]种，不符合条件，因为这样第n次就不能再传给甲了；另一类是第n-1次没在甲手里，第n次持球人再将球传给甲有a[n]种方法,根据加法原理有a[n-1]+a[n]=(K-1)^(n-1)由于甲是发球者，所以a[1]=0;利用递推关系可得

思路：an(n表示传n次球,回到甲手中的次数);

          a1=0;

          a2=(K-1)^1-a1;

          a3=(K-1)^2-a2;

          a4=(K-1)^3-a3;

          ......

详细代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e3+100;
const int MOD=1e9+7;
typedef long long LL;
struct node{
	LL A[2][2];
	node(){
		memset(A,0,sizeof A);
	}
	node(const node &a){
		for(int i=0;i<2;i++){
			for(int j=0;j<2;j++){
				A[i][j]=a.A[i][j];
			}
		}
	}
};
node operator *(const node &a,const node &b){
	node c;
	for(int i=0;i<2;i++){
		for(int j=0;j<2;j++){
			for(int k=0;k<2;k++){
				c.A[i][j]=(c.A[i][j]+a.A[i][k]*b.A[k][j]%MOD)%MOD;
			}
		}
	}
	return c;
}
node Pow(int k,int n){
	node ans;
	ans.A[0][0]=1;
	ans.A[1][1]=1;
	node A;
	A.A[0][0]=k-1;//难点：构造矩阵
	A.A[0][1]=k-1;
	A.A[1][0]=0;
	A.A[1][1]=-1;
	while(n){
		if(n&1) ans=ans*A;
		n=n>>1;
		A=A*A;
	}
	return ans;
}
void work(int n,int k){
	LL ans=0;
	node a=Pow(k,n-1);
	ans=(a.A[0][1]%MOD+MOD)%MOD;
	printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int n,m;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		work(n,m);
	}
	return 0;
}