数学建模

学习数学建模的初心是在读论文发现数学建模思想对于科研的重要性，就找了一些课程以及书籍。发现数学建模非常有趣，也就有了这篇博文。

1  数学模型的概念

   通过合理抽象和简化，用“定量化”的语言和结构描述自然现象的内在规律。牛顿发现万有引力的主要方法是：将实际世界与简化的数学表示反复的加以比较”。数学建模可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，所得到的数学结构。

 

2  数学建模简介

2.1 例子

•  牛顿发现万有引力定律
• 哥尼斯堡七桥问题
• 传球游戏问题

它是一个假设-建模-检验-修改假设-再建模-再检验‘’‘’的过程。

任何一个成功的建模来自于两个理解：对问题的理解和对方法的理解。

 

3  数学建模的一般过程

1  模型准备

• 深入了解背景
• 明确目的要求
• 收集必要信息 ：分析、鉴别和筛选的能力。

2  模型假设

牛顿定律也是不断假设，验证来的。

• 充分消化相关信息
• 抓住主要因素（将实际问题简单化、线性化，紧紧抓住问题本质）
• 做出恰当的假设（合情合理，便于数学处理的）

需要一种洞察力，什么是重要的，什么不重要的。

3 模型建立

• 用数学语言描述问题（正确翻译问题）
• 选择恰当的数学工具（选择恰当的方法）
• 模型要充分简化，以便于求解；同事要保证模型和实际问题有足够贴近度。

有的人想到的方法不同，正是因为每个人对于问题的理解程度不同。

4  模型求解

•  掌握计算方法
• 应用数学软件
• 提高编程能力

5 模型检验

将求解结果“翻译”回实际问题，检验模型的合理性和适用性。

• 稳定性检验（分析模型对参数变化的“容忍”程度）
• 误差分析（对近似计算结果的误差做出估计）

那模型检验需要什么？

• 培育工程素养
• 重视检验环节
• 迭代完善模型

4  数学建模分类

4.1 确定性的数学方法

4.1.1  初等函数体系方法

        包括给定多维x，y如何确定x，y之间的函数式，主要是现有的函数理论体系，包括观察法、数据拟合、插值、应用积分思想（极限）、导数思想(变化率）、初等优化方法（求极值）、变量之间呈现代数方法（线性代数）、空间几何方法、非线性代数方程。

几个例子：

• 公平的席位竞争
• 双层玻璃窗的功效
• 划艇比赛的成绩
• 动物的身长和体重
• 实物交换（并不太懂）待更新

     

4.1.2  离散动力学方法

     变量之间呈现周期性的递推公式以及差分方程，变量之间呈现函数方程的形式。

4.1.3 连续动力学方法

 

 

4.1.4 连续优化方法

     变量之间具有优化效应，比如（某个变量依赖于别的变量，可以建立函数的函数优化方法）

 

4.1.5 离散优化方法

    线性规划建模、整数规划建模、非线性规划建模、动态规划建模、图论模型。

 

4.2 不确定数学建模

4.2.1  概率论和随机数学

  概率论，随机过程，马氏链模型，蒙特卡洛模拟，排队论与随机排队论，存储论和随机存储论。

4.2.2 统计方法

统计数据描述分析，参数估计，回归分析，一元线性回归，多元线性回归，逐步回归，非线性回归，方差分析，单因素分析，多因素分析，方差分析，聚类分析，判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析，相关分析，时间序列分析，季节模型。

 

4.3 界限不明显的模糊性问题

 模糊数学方法，模糊关系，模糊矩阵，模糊聚类分析，模糊模式识别方法

 

 

 

5  数学建模方法论

主要是类比、创新两个步骤。有下面几个步骤

• 数据：采集什么数据，如何采集数据，如何分析数据
• 建立函数关系的方法（尝试到4中所有的建模模型），挑选合适的模型进行拟合。用matlab画出散点图，然后观察用某种插值或者拟合方法来得到函数参数，画出其拟合曲线，如果拟合曲线和真实数据拟合很好地话，就可以了
• 从已经拟合模型中选择最合适的

5.1  如何建立函数关系？（问题定义：根据一组数据构造一个函数作为近似）

  5.1.1 观察法，就是根据大量的数据直接观察出其内在规律，写出表达式，比如开普勒第三定律。

 5.1.2 拟合法：

 

  5.1.3 插值法

插值是构建一个函数，代入数据，使得xi=yi或者约等于即可的一种方法。

• 拉格朗日多项式插值法，

         用多个曲线去拟合一条曲线，挺厉害的，构建一个基函数，满足对自己为1，对别人为0，自然就可以构建满足在xi时等于yi的一个式子，就是函数关系了。

• 牛顿代数插值

牛顿插值法是泰勒公式的源头。

 

 

•  

 

 

 

 

6 参考

 厦门大学的数学建模课程，来自谭忠老师

《数学模型》 姜启源

《数学建模算法与应用》 司守奎

中国科学技术大学的《数学建模》课程