常见概率分布及其意义

离散型概率分布

二项分布

• 设在一个试验中事件 A 发生的概率是 $p$，则独立重复 $n$ 次试验后，事件 A 发生 $i$ 次的概率为

$$p_i=B(n,p)=\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)p^i(1-p{)}^{n-i},i=0,1,...,n$$

超几何分布

• $N$ 个产品中有废品 $M$ 个，则从中随机抽取 $n$ 个样品中恰有 $m$ 个废品的概率为

$$P(X=m)=\left(\begin{array}{c}M\\ m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-M\\ n-m\end{array}\right)/\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)$$

几何分布

• 产品的废品率为 $p$，从这批产品中逐一抽取样品，直到抽到第一个废品，记此时已抽出的合格品个数为 $X$，则

$$P(X=i)=p(1-p{)}^i,i=0,1,...$$

泊松分布

• 泊松分布多用于描述在一定的时间或空间内出现的事件个数的分布

$$P(X=i)\sim P(\lambda )=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^i}{i!}$$

• 泊松分布可看做二项分布的极限，当 $n$ 很大，$p$ 很小，且 $np=\lambda$ 不大时，可以用泊松分布近似二项分布

连续型概率分布

均匀分布

$$f(x)=\frac{1}{b-a},a\le x\le b$$

正态分布

$$N(\mu ,{\sigma }^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

中心极限定理说明很多个独立变量的和近似服从正态分布

标准正态分布

$$N(0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

指数分布

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0$$