统计上的三大分布

最新推荐文章于 2025-10-18 17:55:09 发布

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本文探讨了正态分布的特性及其与卡方分布、t分布及F分布的关系，介绍了Γ函数与Beta函数，并详细分析了这些分布的期望、方差等统计属性。

正态分布和两个重要的函数

设随机变量 $X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2$ 独立，且分别服从正态分布 $N(μ1,σ12)\bm{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(μ2,σ22)\bm{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ ，则随机变量 $Y=X1+X2\bm{Y} = \bm{X}_1 + \bm{X}_2$ 服从正态分布 $N(μ1+μ2,σ12+σ22)\bm{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ ，这被称为正态分布的“再生性”
- 再生性可以直接推广到 $n$ 个服从正态分布的独立随机变量的情形
如果随机变量 $X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2$ 不独立，但其联合分布为二维正态分布 $N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)\bm{N}(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$ ，则随机变量 $Y=X1+X2\bm{Y} = \bm{X}_1 + \bm{X}_2$ 服从正态分布 $N(μ1+μ2,σ12+σ22)+2ρσ1σ2\bm{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2) + 2\rho\sigma_1\sigma_2$

$Γ\Gamma$ 函数

$Γ(x)=∫0∞e−ttx−1dt,x>0\Gamma(x) = \int _{ 0 }^{ \infty }{e^{-t}t^{x-1}\rm{d}t}, \quad x > 0$
$Γ(1)=1,Γ(12)=π,Γ(n)=(n−1)!\Gamma(1) = 1, \quad \Gamma(\frac { 1 }{ 2 } ) = \sqrt { \pi }, \quad \Gamma(n) = (n-1)!$
$Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

$B\Beta$ 函数

$B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dt,x>0,y>0\Beta(x, y) = \int _{ 0 }^{1}{t^{x-1}(1-t)^{y-1}\rm{d}t}, \quad x > 0, y > 0$
$B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y)\Beta(x, y) = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

1. 卡方分布

设随机变量 $X1,X2,...,Xn\bm{X}_1, \bm{X}_2, ..., \bm{X}_n$ 独立，且都服从正态分布 $N(0,1)\bm{N}(0, 1)$ ，则随机变量 $Y=X12+X22+...+Xn2\bm{Y} = \bm{X}_1^2 + \bm{X}_2^2 + ... + \bm{X}_n^2$ 服从自由度 $n$ 的卡方分布

$\chi }_{ n }^{ 2 }(x)=\frac { { e }^{ -\frac { x }{ 2 } }{ x }^{ \frac { n-2 }{ 2 } } }{ \Gamma \left( \frac { n }{ 2 } \right) { 2 }^{ \frac { n }{ 2 } } }, \quad x > 0$

卡方分布的性质

设随机变量 $X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2$ 独立，且分别服从卡方分布 $\chi }_{ m }^{ 2 }$ 和 $\chi }_{ n }^{ 2 }$ ，则随机变量 $Y=X1+X2\bm{Y} = \bm{X}_1 + \bm{X}_2$ 服从卡方分布 $\chi }_{ m+n }^{ 2 }$
卡方分布的期望
$E(Y)=nE(\bm{Y}) = n$
卡方分布的方差

$Var(Y)=2nVar(\bm{Y}) = 2n$

2. $t$ 分布

设随机变量 $X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2$ 独立，且分别服从卡方分布 $\chi }_{ n }^{ 2 }$ 和正态分布 $N(0,1)\bm{N}(0, 1)$ ，则随机变量 $Y=X2/X1n\bm{Y} = { { X }_{ 2 } }/{ \sqrt { \frac { { X }_{ 1 } }{ n } } }$ 服从自由度 $n$ 的 $t$ 分布

$tn(y)=Γ(n+12)nπΓ(n2)(1+y2n)−n+12t_n(y) = \frac { \Gamma \left( \frac { n+1 }{ 2 } \right) }{ \sqrt { n\pi } \Gamma \left( \frac { n }{ 2 } \right) } { \left( 1+\frac { { y }^{ 2 } }{ n } \right) }^{ -\frac { n+1 }{ 2 } }$

$t$ 分布的性质

$t$ 分布关于原点对称，其图形与正态分布 $N(0,1)\bm{N}(0, 1)$ 相似，当 $n$ 很大时， $t$ 分布接近标准正态分布
$t$ 分布的期望

$E(Y)=0E(\bm{Y}) = 0$

$t$ 分布的方差

$Var(Y)=nn−2,n>2Var(\bm{Y}) = \frac{n}{n-2}, \quad n > 2$

3. $F\bm{F}$ 分布

设随机变量 $X1,X2\bm{X}_1, \bm{X}_2$ 独立，且分别服从卡方分布 $\chi }_{ n }^{ 2 }$ 和 $\chi }_{ m }^{ 2 }$ ，则随机变量 $Y=m−1X2n−1X1Y=\frac { { m }^{ -1 }{ X }_{ 2 } }{ { n }^{ -1 }{ X }_{ 1 } }$ 服从自由度 $(m, n)$ 的 $F\bm{F}$ 分布

$fmn(y)=mm2nn2Γ(m+n2)Γ(m2)Γ(n2)ym2−1(my+n)−m+n2,y>0f_{mn}(y)={ m }^{ \frac { m }{ 2 } }{ n }^{ \frac { n }{ 2 } }\frac { \Gamma \left( \frac { m+n }{ 2 } \right) }{ \Gamma \left( \frac { m }{ 2 } \right) \Gamma \left( \frac { n }{ 2 } \right) } { y }^{ \frac { m }{ 2 } -1 }{ \left( my+n \right) }^{ -\frac { m+n }{ 2 } }, \quad y > 0$

$F\bm{F}$ 分布的性质

$F\bm{F}$ 分布的期望
$E(Y)=nn−2,n>2E(\bm{Y}) = \frac{n}{n-2}, \quad n > 2$
$F\bm{F}$ 分布的方差
$Var(Y)=2n2(m+n−2)m(n−2)2(n−4),n>4Var(\bm{Y}) = \frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}, \quad n > 4$