程序员的数学之进制与零

最近一年多发生了很多平凡的大事，应接不暇，一度断更。从今儿起再接上来。

先从数学开始吧，因为太枯燥了。

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生活中有许多种进制在共同起作用，例如，数学上的`十进制`、计算机中的`二进制`、`八进制`和`十六进制`、计时的`60进制`、`24进制`和`7进制`。

怎么才能快速地知道`1111`所对应的具体的进制数值呢？例如，`1111`对应的`二进制`、`八进制`和`十六进制`是多少？它对应的`60进制`、`24进制`和`7进制`又分别是多少？

因此，为了解决这个问题，科学家们在`进制`的基础上做了更进一步的抽象。

• 将每个数字所在的`位`单独提取出来。
• 将这些`位`并从小到大依次排列。
• 越靠右位数越小，越靠左位数越高。

按照这种方式，`1111`对应的`二进制`、`八进制`和`十六进制`和`六十进制`就可以这样来表示。

`1111`分解为二进制的结果。

`1111`分解为八进制的结果。

`1111`分解为十六进制的结果。

`1111`分解为六十进制的结果。

因此，`进制计数法`也被称为`按位计数法`。

0的作用

`0`在数学上的意义就是`没有`，但这种`没有`需要用精确且没有歧义的符号来代表。

例如，如果把`101`写成`1 1`，或者将10⁰写成10，不仅很别扭，而且有歧义，搞不好`1 1`还一不小心被混淆成了`11`。

所以，`0`的作用不仅在于替代`没有`，更重要的是它可以`占位`：表示某个数位上没有数字。

例如，`101`就表示它只有`百位数`、`个位数`而没有`十位数`。

这是一种占位的例子。

如果按照`没有`来算，那10的0次方该表示什么数呢？

从直觉上来说，10的0次方应该等于`0`，但如果观察上面幂指数的规律，就可以发现`指数`每减1，数值就变成了之前的十分之一。

所以，10的0次方的值也就可以因此确定了，并不是`没有`。

按照这个规律再继续延伸一下，就可以知道当指数为负数时的结果是什么了。

综合`按位计数法`与`0`的意义，就可以得到`指数法则`。

先归纳，再分治

古人用绳结计数，但要记住的事情多了以后，就有点难于表示了。例如，下面两个`绳结`就不能一眼看出它们的大小。

所以，聪明的先辈们就发明了`按位计数法`，将大量的数字归纳为一个个小`单元`，这个小单元就叫`位`。

以此类推，就有了`百位`、`千位`和`万位`。

但即使这样仍然不能解决数字越来越大的问题。

例如，能否一眼看出`1111111111111111111`和`111111111111111111`这两个数哪个大？

所以，科学家们又想到了`指数法则`。

• `1111111111111111111` = `1.11` × 10的18次方。
• `111111111111111111` = `1.11` × 10的17次方。

好了，这下一目了然了。

按照这种思路，再大的数都可以通不断`归纳`再`分治`的方式变得易于管理和识别。

这正是数学的意义。

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