第六章线性算子的谱理论
§6.1谱集和正则点集
6.1.0线性代数和微分方程中的特征值问题
∙线性算子的谱理论在基础研究和应用研究中均占据着重要的位置,
∙谱理论对于了解和刻画线性算子是十分重要的.
∙对于有限维空间X上的线性算子A,A的谱点就是特征值,
空间X按这些特征值可以分解成若干个关于这个算子的不变子空间.
例6.1.1A是从R 4 到R 4 的对称矩阵(线性算子),
A=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 011−1 10−11 1−101 −1110 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
对于x,y∈R 4 ,A:x→Ax,Ax=y.
考虑特征值问题:Ax=λx,
A的特征值为：λ=−3,+1,其中λ=1是3重特征值.
相应的正交化的特征向量(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )成为R 4 中的
一组标准正交基.其中
β 1 =(12 √ ,12 √ ,0,0),β 2 =(16 √ ,−16 √ ,26 √ ,0),
β 3 =(−112 − − √ ,112 − − √ ,112 − − √ ,312 − − √ ),β 4 =(12 ,−12 ,−12 ,12 ).
在这组标准正交基下,矩阵A成为对角矩阵
A∼A 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ 1000 0100 0010 000−3 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
∙在新的坐标系(β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 )下,线性变换A有最简
单的标准型.
∙在每个特征子空间(新的坐标系对应的一维子空间)上,
A作用的形式是最简单的(放大、缩小特征值的倍数).
Aβ 1 =β 1 ,Aβ 2 =β 2 ,Aβ 3 =β 3 ,Aβ 4 =−3β 4 .
∙空间R 4 中的任意一个元素x可以用这组正交基
β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 表示出来.
即x可以表示为:
x=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 )=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 ,
其中
a 1 =(x,β 1 ),a 2 =(x,β 2 ),a 3 =(x,β 3 ),a 4 =(x,β 4 ),
是x在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影,于是
Ax=A(a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 +a 4 β 4 )
=a 1 Aβ 1 +a 2 Aβ 2 +a 3 Aβ 3 +a 4 Aβ 4
=a 1 β 1 +a 2 β 2 +a 3 β 3 −3a 4 β 4
=y=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ).
∀x∈R 4 ,只要知道x在β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 上的投影
(a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ),
则A作用的方式一目了然.
A作用方式:
Ax=(λ 1 a 1 ,λ 2 a 2 ,λ 3 a 3 ,λ 4 a 4 )=(a 1 ,a 2 ,a 3 ,−3a 4 ).(6.1.1)
注1:A作用的方式是由特征值、特征向量决定的.
注2:当λ不是特征值时,(A−λI)x=0只有零解,
于是A−λI的逆存在且有界.
∙特征值刻画了有限维空间上线性算子的基本性质.
∙在无穷维空间,我们也试图根据线性算子谱(特征值)
研究线性算子的性质.
▶下面考虑微分方程中经典的Sturm−Liouville问题.
例6.1.2Sturm−Liouville问题
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ −y ′′ (t)=λy(t),−π≤t≤π.y(−π)=y(π),(1)y ′ (−π)=y ′ (π).(2) (6.1.2)
设H=L 2 [−π,π],Ty=−y ′′ ,y∈D(T)⊂D max (T)⊂H,
其中:D max (T)={y∈H|y ′ 绝对连续,Ty∈H}.
T是L 2 [−π,π]到L 2 [−π,π]的线性算子,
边界条件(1)−(2)对算子定义域D(T)做了适当的限制,
使之成为一个自共轭的线性算子.
▶例6.1.2中的Sturm−Liouville(S−L)问题成为微分
算子的特征值问题:
Ty=λy(6.1.3)
▶与例6.1.1中研究的线性算子的特征值问题
Ax=λx
形式上很相似.
∙因为要满足边界条件,不是对于所有λ,S−L问题
Ty=λy都有非零解.
∙使方程(6.1.3)有非零解的λ称为S−L问题的特征值.
∙方程(6.1.3)没有非零解时,T−λI的逆算子存在.
通过简单的计算得到,线性算子T的特征值为
{λ n }={0,1 2 ,2 2 ,⋯,n 2 ,⋯}.
对应的特征值函数为
{e n }={1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,⋯,coskx,sinks,⋯}.(6.1.4)
根据定理3.4.12知道,
(6.1.4)式中的{e n }是L 2 [−π,π]中的完备正交基.
对于∀y∈L 2 [−π,π]都可以分解为
y(t)=∑ n=1 ∞ (y,e n )e n .(6.1.5)
因为e n 是T关于λ的特征函数,Te n =λ n e n .
注意到S−L算子T是闭的线性算子,根据定理4.5.3及
其定理后面的注4,
对于∀y∈D(T)⊂D max (T)⊂L 2 [−π,π],
y=∑ n=1 ∞ (y,e n )e n ,Ty∈L 2 [−π,π].
我们有:
Ty=T∑ n=1 ∞ (y,e n )e n =∑ n=1 ∞ (y,e n )Te n =∑ n=1 ∞ (y,e n )λ n e n .(6.1.6)
∗这里有个极限运算和闭算子交换顺序的问题.
∙线性算子的谱(特征值)从本质上刻画了线性算子的作用方式.
∙线性算子的谱还反映了线性算子有没有逆算子,
∙在什么范围有逆算子，逆算子是否连续等一系列问题.
∙下面我们将看到无穷维空间中线性算子的谱理论要比
有限维空间的情况复杂得多,线性算子的谱理论不仅仅包含
特征值,还可以有连续谱、剩余谱等.
本章要讲述的主要问题:
▶线性算子谱的定义,谱的分类,谱的性质;
▶有界线性算子的谱集是非空的有界闭集;
▶有界自共轭线性算子的谱分析;
▶紧线性算子的谱分析.
6.1.1谱点和正则点的定义
我们研究线性算子的谱理论,
首先考虑T λ =λI−T,其中λ是复数,I是恒等算子.
∙λ取什么值时T λ 有逆算子?
∙T λ 有逆算子T −1 λ 时,T −1 λ 的性质如何?
这些问题是谱理论所关系的一些基本问题.
∗在有限维空间,对于T λ x=0只有两种可能:
(1)T λ x=0有非零解,即λ是T的特征值;
(2)T λ x=0无非零解,即λ是T的正则点,
T −1 λ 存在且有界.
∗但在无穷维空间,情况一般要复杂得多.
▶以下根据λ的分类,给出谱点和正则点的定义:
定义6.1.3设X是复的Banach空间,T是从
D(T)⊂X到X的线性算子.
λ称为T的正则点,
∙如果λI−T的值域R(λI−T)在X中稠密,
∙并且λI−T有连续的逆算子.
这样的λ的全体称为T的正则点集(或者称为预解集),
记为ρ(T).
有时把逆算子(λI−T) −1 简记为R λ (T).称其为T
的预解式.
正则点集ρ(T)的补集称为T的谱集,记为σ(T),即
σ(T)=C∖ρ(T),
若λ∈σ(T),称λ为T的谱点.
注1:在这个定义中,未要求T是有界线性算子,D(T)不
一定是全空间.
▶进一步我们还可以对T的谱集合做进一步的分类:
定义6.1.4设σ(T)是线性算子T的谱集.
(1)λ称为T的点谱,
∙如果λI−T不是一对一的.
∗点谱的全体记为σ p (T);
(2)λ称为T的连续谱,
∙若λI−T是一对一的,λI−T的值域在X中稠密,
∙但是它的逆算子是不连续的.
∗连续谱的全体记为σ c (T);
(3)λ称为T的剩余谱,
∙如果λI−T是一对一的,但是λI−T的值域在X中不稠密.
∗剩余谱的全体记为σ r (T).
∗显然,σ p (T),σ c (T)和σ r (T)是互不相交的集合,且
σ(T)=σ p (T)∪σ c (T)σ r (T).(6.1.7)
定理6.1.5设H是Hilbert空间,T∈B(H),则
σ(T ∗ )={λ ¯ |λ∈σ(T)}.
证明:根据定理5.3.6,(T ∗ ) −1 =(T −1 ) ∗ ,
于是对于λ∈ρ(T),
R λ ¯ (T ∗ )=(λ ¯ I−T ∗ ) −1 =[(λI−T) −1 ] ∗ =(R λ (T)) ∗ ,
即λ ¯ ∈ρ(T ∗ ).
反之λ ¯ ∈ρ(T ∗ ),知λ∈ρ(T ∗∗ )=ρ(T).
注:Hilbert空间中共轭算子T ∗ 的谱集合与T的谱集合关于X轴对称,
这从一个侧面反映了一个算子与其共轭算子的某种对称性.
6.1.2特征值和特征元素
∙显然λ∈σ p (T)的充要条件是:
T λ x=0有属于定义域D(T)中的非零解.
定义6.1.6λ∈σ p (T),λ称为T的特征值,
T λ x=0的非零解x称为T对应于λ的特征元素.
T λ 的零空间N(λI−T)称为T关于λ的特征子空间,
它包括零元素和T的全体关于λ的特征元素.
T关于λ的特征子空间的维数dimN(λI−T)称为
特征值λ的几何重数.
∙对于λ∈σ p (T),T λ x=0的非零解x必须属于D(T)⊂X,
∗这在无穷维空间是十分重要的,我们有以下例子.
例6.1.7设H=L 2 (−∞,∞),T:H→H,y=Tx,其中
y(t)=∫ t −∞ e −(t−τ) x(τ)dτ.
可以证明,D(T)=H,R(T)⊂H,
当x(t)=e iωt 时,
∫ t −∞ e −(t−τ) e iωτ dτ=∫ t −∞ e −t e (1+iω)τ dτ=11+iω e iωt ,(6.1.8)
即如果T作用在x(t)=e iωt 上,得到11+iω x(t),
但是这并不意味着11+iω 是T的特征值.
事实上,x(t)=e iωt ∉L 2 (−∞,∞).
可以证明11+iω 是算子T的连续谱.
命题6.1.8设λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ n 是线性算子T的互不相同
的特征值,x 1 ,x 2 ,⋯,x n 是对应的特征元素,
则x 1 ,x 2 ,⋯,x n 是线性无关的.
证明:反证法.假如x 1 ,x 2 ,⋯,x n 是线性相关的,
设x m 是第一个可以由前面的特征元素表示的元素,即
x m =α 1 x 1 +α 2 x 2 +⋯+α m−1 x m−1 .
由于x 1 ,x 2 ,⋯,x m 是特征元素,于是
0=（λ m I−T)x m =α 1 (λ m −λ 1 )x 1 +⋯+α m−1 (λ m −λ m−1 )x m−1 .
由于λ m ≠λ i (i=1,2,⋯,m−1),
结合x 1 ,x 2 ,⋯,x m−1 是线性无关的,
推出α 1 ,=⋯=α m−1 =0.这与x m ≠0矛盾.
6.1.3闭线性算子的正则点
▶当T是闭算子,特别是有界线性算子时,有以下结论:
定理6.1.9设X是Banach空间,T是从D(T)⊂X
到X的闭线性算子,
那么对于∀λ∈ρ(T),(λI−T) −1 是一个定义在
全空间上的有界线性算子.
∙λ是正则点,如果λI−T的值域R(λI−T)在X
中稠密,并且λI−T有连续的逆算子.
分析:已知R(λI−T)在X中稠密,要证明
R(λI−T)=X,
即对于∀y∈X,要证明y∈R(λI−T).
即对于λ∀y∈X,要证明y∈R(λI−T).
也就是说要找到x∈X,使得(λI−T)x=y.
证明:对于∀y∈X,由于R(λI−T)在X中稠,因此
存在{x n },使得
lim n→∞ (λI−T)x n =y,(6.1.9)
∴{(λI−T)x n }是Cauchy列,
∵λ∈ρ(T),(λI−T) −1 是有界的,
根据定理4.4.2,存在一个正数m>0,使得
∥(λI−T)x∥≥m∥x∥,∀x∈D(T).(6.1.10)
由(6.1.10)式知{x n }也是Cauchy列,
由于X是Banach空间,存在x∈X,
lim n→∞ x n =x.
由于T是闭算子,结合(6.1.9)式(lim n→∞ (λI−T)x n =y),
我们有
x∈D(T),(λI−T)x=y,
即R(λI−T)=X.
注：于是我们看到：当T是闭线性算子时,
λ∈ρ(T),当且仅当
R(λI−T)=X且(λI−T) −1 ∈B(X).
有关闭线性算子谱的定义和分类,可参阅张恭庆等编著,
《泛函分析讲义》(上册)p.154.
6.1.4存在不是特征值的谱点
例6.1.10设X是有限维的Banach空间,
T是从X到X的线性算子,则σ p (T)=σ(T).
事实上,因为
dim(N(λI−T))+dim(R(λI−T))=dimX,
其中dim表示空间的维数,
所以λI−T是一对一的当且仅当R(λI−T)=X,
因此对于有限维空间上的线性算子T,剩余谱是空集.
∙λ称为T的剩余谱,如果λI−T是一对一的,但是
λI−T的值域在X中不稠密.
如果λI−T是一对一的,(λI−T) −1 存在,
因为有限维空间上的线性算子是有界(连续)的,
这说明T的连续谱也是空的.
∙λ称为T的连续谱,若λI−T是一对一的,λI−T
的值域在X中稠密,但是它的逆算子是不连续的.
即在有限维空间只有纯点谱,σ p (T)=σ(T).
如果(a ij )表示T在X的一组基下的相应的矩阵,则
σ(T)=σ p (T)={λ∈C|det(λδ ij −a ij )=0}.(6.1.11)
其中δ ij 是Kronecker符号,即
δ ij =1,当i=j;δ ij =0,当i≠j.
▶在无穷维空间,情况就不是这么简单.
例6.1.11在Hilbert空间H=l 2 [1,∞)上,
我们定义右移算子T:l 2 →l 2 ,
T:(x 1 ,x 2 ,⋯)→(0,x 1 ,x 2 ,⋯),
其中x=(x 1 ,x 2 ,⋯)∈l 2 .
由于
∥Tx∥ 2 =∑ i=1 ∞ ∥x i ∥ 2 =∥x∥ 2 ,
我们有∥T∥=1.
因为Tx=0意味着x=0,即0不是特征值.
显然T的值域
R(T)={y={y i }|y 1 =0}
在H中不稠,于是0∈σ r (T).
∙λ称为T的剩余谱,如果λI−T是一对一的,但是
λI−T的值域在X中不稠密.
注:上例说明在无穷维空间,线性算子可以有不是特征值的谱点.
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