离散数学 08.04 几种特殊的格

$\color{blue}{\S 8.4 几种特殊的格}$

$\color{blue}{8.4.1 有界格}$

$引理1：设(L, \leq)是一个格。若S是L的任意一个有限非空子集，则S有一个最大\\ 下界和最小上界。$
$对于格的一个无穷子集，引理1的结论不成立。例如，在格(I_+, \leq)中，\\ 所有正偶数组成的集合记为E_+,E_+ \subseteq I_+,但E_+没有最小上界。$

$记集合S的最大下界为\inf S;集合S的最小上界为\sup S.$

$定义8.4.1.格(L, \leq)称为有界格，如果它有一个最大元素(记为1)和一个最小元素\\ (记为0)，亦即，对任意a \in L,都有0 \leq a \leq 1, 0、1称为格(L, \leq)的界。若(L, \\ \leq)是有限格，令L = \lbrace a_1, \cdots, a_n \rbrace, 则(L, \leq)必是有界格，并且\\ 0 = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n \\ 1 = a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n$

$引理2.若(L, \times, \oplus, 0, 1)是有界格，则对任意a \in L,恒有\\ a \oplus 0 = a, a \times 1 = a, \\ a \oplus 1 = 1, a \times 0 = 0.$

$定义8.4.2.在有界格(L, \times, \oplus, 0, 1)中，一个元素b \in L,称为元素a \in L的余元素，\\ 如果 a \times b = 0, a \oplus b = 1.\\ 在有界格(L, \times, \oplus, 0, 1)中，任意元素a可以有余元素，也可以没有余元素;\\ 如果有余元素，则可以有一个或多个余元素。$
$例如，下面Hasse图所表示的有界格，就说明了上述这些情况的存在。(x_1, x_2都是余元素)\\ (x_1有唯一余元素x_2)(x_1的余元素是x_2和x_3)$

$引理3.在有界格(L, \times, \oplus, 0, 1)中，1是0的唯一一个余元素，反之亦然。$
$证明：因为由引理2知，0 \times 1 = 0, 0 \oplus 1 = 1,\\ 所以，0，1互为余元素。\\ 若c \in L,且c \neq 1, c是0的余元素，0 \times c = 0, 0 \oplus 1 = 1.\\ 但是，由引理2知，0 \oplus c = c,故，c = 1矛盾。$

$\color{blue}{8.4.2 有余格}$

$定义8.4.3.有界格(L, \times, \oplus, 0, 1)说是一个有界格，如果对L中每一个元素，\\ 都至少有一个余元素。$
$例8.4.1. n维格(L^n, \leq_n)是一个有余格，其中1_n = (1, 1, \cdots, 1), \\ 0_n = (0, 0, \cdots, 0)有界。对任意L^n中元素(a_1, \cdots, a_n)，\\ 元素(b_1, \cdots, b_n)是余元素，其中$
$\left. \begin{array}{l}b_i = 0 \iff a_i = 1 \\ b_i = 1 \iff a_i = 0 \end{array} \right \} i = 1, \cdots, n.$

$例8.4.2.设S是有n个元素的集合，\rho(S)是S的幂集合，于是，(\rho(S), \subseteq)是有余格。\\ 其中，\phi和S是此格的界，对\rho(S)中任意元素A,\rho(S)中的元素S - A是其余元素。$

$\color{blue}{8.4.3 分配格}$

$由8.3.3中定理8.3.3知，对于任意格，其格中元素都满足分配不等式，下面我们引\\ 进一种满足分配恒等式的特殊格。$
$定义8.4.4.格(L, \times, \oplus)称为分配格，如果对任意a, b \in L, 恒有\\ a \times (b \oplus c) = (a \times b) \oplus (a \times c) \\ a \oplus (b \times c) = (a \oplus b) \times (a \oplus c)$
$指出一点，分配格定义中的两个不等式是等价的，亦即，在格中，只要有一个分配\\ 恒等式成立，另一个分配恒等式可以由格的性质推导出来。$

$不是所有的格都是分配格，例如，下面的Hasse图表示的格不是分配格:$

$因为 \\ a_2 \times (a_1 \oplus a_3) = a_2 \neq (a_2 \times a_1) \oplus (a_2 \times a_3) = a_3, \\ b_1 \times (b_2 \oplus b_3) = b_1 \neq (b_1 \times b_2) \oplus (b_1 \times b_3) = 0.$

$引理4：任意一个链都是一个分配格。$
$证明：设格(L, \leq)是一个链，任取L中三个元素a, b, c, 无非是下面两种情况:\\ 1) a \geq b, a \geq c, 于是a \geq b \oplus c, 故 a \times (b \oplus c) = b \oplus c \\ 而 a \times b = b, a \times c = c, 所以, (a \times b) \oplus (a \times c) = b \oplus c.\\ 故a \times (b \oplus c) = (a \times b) \oplus (a \times c). \\ 2) a \leq b 或 a \leq c, 于是 a \leq (b \oplus c), 故a \times (b \oplus c) = a. \\ 而(a \times b) \oplus (a \times c) = a, 所以 a \times (b \oplus c) = (a \times b) \oplus (a \times c).$
$也有很多不是链的格是分配格。\\ 例如，n维格(L^n, \leq_n),格(\rho(S), \subseteq), 格(I_+, D), 格(S_n, D)都是分配格。\\ 分配格的任意子格仍是分配格。$

$定理8.4.1.(De Morgan定律)设(L, \times, \oplus)是一个分配格，对任意元素a,b,\\ 若a,b有余元素a^{\prime}, b^{\prime},则\\ (a \times b)^{\prime} = a^{\prime} \oplus b^{\prime} \\ (a \oplus b)^{\prime} = a^{\prime} \times b^{\prime}$
$证明：因为(a^{\prime} \oplus b^{\prime}) \oplus (a \times b) \\ = (a^{\prime} \oplus b^{\prime} \oplus a) \times (a^{\prime} \oplus b^{\prime} \oplus b) \\ = (1 \oplus b^{\prime}) \times (a^{\prime} \oplus 1) \\ = 1 \times 1 = 1 \\ 而 (a^{\prime} \oplus b^{\prime}) \times (a \times b) \\ = (a^{\prime} \times a \times b) \oplus (b^{\prime} \times a \times b) \\ = (0 \times b) \oplus (0 \times a) \\ = 0 \oplus 0 = 0 \\ 故由余元素定义知，(a \times b)^{\prime} = a^{\prime} \oplus b^{\prime} \\ 同理可证另一等式：(a \oplus b)^{\prime} = a^{\prime} \times b^{\prime}$

$定理8.4.2.设格(L, \times, \oplus)是分配格，对任意a, b, c \in L, \\ 如果 a \times c = b \times c, a \oplus c = b \oplus c, 则有 a = b.$
$证明：若(L, \times, \oplus) 是分配格，且a \times c = b \times c, a \oplus c = b \oplus c, 则\\ a = a \times (a \oplus c) = a \times (b \oplus c) \\ = (a \times b) \oplus (a \times c) \\ = (a \times b) \oplus ( b\times c) \\ = b \times (a \oplus c) \\ = b \times (b \oplus c) = b$

$推论：设格(L, \times, \oplus)是一个有余的分配格，则对任意a \in L, a的余元素a^{\prime}是唯一的。$
$证明：因(L, \times, \oplus)是有余格，设a^{\prime}和a^{\prime \prime}都是a的余元素，即\\ a \times a^{\prime} = 0, \quad a \oplus a^{\prime} = 1, \\ a \times a^{\prime \prime} = 0, \quad a \oplus a^{\prime \prime} = 1, \\ 故a \times a^{\prime} = a \times a^{\prime \prime}, a \oplus a^{\prime} = a \oplus a^{\prime \prime}.\\ 由定理8.4.2.知，a^{\prime} = a^{\prime \prime}.$

$\color{blue}{8.4.4 模格}$

$定义8.4.5.设(L, \leq)是一个格，对任意a, b, c \in L,如果a \leq b,\\ 都有 a \oplus (b \times c) = b \times (a \oplus c) 则称(L, \leq)为模格。$
$任意一个分配格都是模格，但模格不一定是分配格。$

$例8.4.3.下图中左面Hasse图表示的格既不是分配格，也不是模格。因为a_3 \leq a_2,\\ 但a_3 \oplus (a_2 \times a_1) = a_3 \oplus 0 = a_3, a_2 \times (a_3 \oplus a_1) = a_2 \times 1 = a_2. \\ 右面Hasse图表示的格(L, \times, \oplus)是模格，但不是分配格。$

$L=\lbrace 0, 1, b_1, b_2, b_3 \rbrace. \\ 分以下几种情况:\\ (1) 当a = 1时,若a \leq b,则b也一定是1.故\\ a \oplus (b \times c) = 1 \oplus (1 \times c) = 1, \\ b \times (a \oplus c) = 1 \times (1 \oplus c) = 1 \times 1 = 1. \\ (2) 当a = 0时,若 a \leq b, 则b可能为0, b_1, b_2, b_3, 1.故 \\ a \oplus (b \times c) = 0 \oplus (b \times c) = b \times c, \\ b \times (a \oplus c) = b \times (0 \oplus c) = b \times c. \\ (3) 当 a = b_1, b_2, b_3 之一时，若a \leq b,则b是1或a。\\ ①若b = 1,则\\ a \oplus (b \times c) = a \oplus (1 \times c) = a \oplus c, \\ b \times (a \oplus c) = 1 \times (a \oplus c) = a \oplus c. \\ ②若b = a,则\\ a \oplus (b \times c) = a \oplus (a \times c) =a , \\ b \times (a \oplus c) = a \times (a \oplus c) = a . \\ 综上，对任意a, b, c \in L, 如果a \leq b,都有 a \oplus (b \times c) = b \times (a \oplus c).$

$例8.4.4.群G中的所有正规子群做成一个模格。设群G的所有正规子群做成的集合为S，\\ 对集合S引进如下两种运算：\\ 对任意A \in S, B \in S,A 与 B的交集记为A \cap B。因为正规子群的交仍为正规子群，\\ 故运算 \cap 对S是封闭的。\\ 对任意A \in S, B \in S,A 与B的乘积(记为A \cdot B)为如下集合：\\ A \cdot B = \lbrace x\cdot y | (x \in A) \land (y \in B) \rbrace. \\ 对任意g \in G, 任取u \in g \cdot (A \cdot B),于是,u = g\cdot a \cdot b.其中a \in A, b \in B.\\ 因为A,B是正规子群，所以g \cdot a \cdot b = a_1 \cdot g \cdot b = a_1 \cdot b_1 \cdot g, \\ 其中a_1 \in A, b_1 \in B.故u = g \cdot a \cdot b \in (A \cdot B) \cdot g,故g \cdot (A \cdot B) \subseteq (A \cdot B) \cdot g.\\ 同理可证：(A \cdot B) \cdot g \subseteq g \cdot (A \cdot B). \\ 故 g \cdot (A \cdot B) = (A \cdot B) \cdot g \\ 即，A \cdot B是正规子群，所以，乘运算 \cdot 对S也是封闭的。\\ i) 交运算和乘运算满足结合律是显然的。\\ ii)交运算满足交换律是显然的，对于乘运算:\\ 任取u \in A \cdot B,即u = a \cdot b (a \in A, b \in B).由于B是正规子群，\\ 所以，u = a \cdot b = b_1 \cdot a (b_1 \in B),故u \in B \cdot A,即A \cdot B \subseteq B \cdot A.\\ 同理可证：B \cdot A \subseteq A \cdot B,故A \cdot B = B \cdot A.即乘运算满足交换律。\\ iii)任取u \in A \cdot (A \cap B), 于是, u = a \cdot c,其中c \in A \cap B,\\ 故 u = a \cdot c \in A,即 A \cdot (A \cap B) \subseteq A. \\ 任取u \in A, 因为A, B都是子群，故单位元素1既在A中，也在B中，\\ 故1 \in A \cap B,故u = u \cdot 1 \in A \cdot (A \cap B), 即 A \subseteq A \cdot (A \cap B)。\\ 故A \cdot (A \cap B) = A \\ 同理可证：A \cap (A \cdot B) = A.\\ 亦即：运算\cap和 \cdot 满足吸收律.\\ 因此(S, \cap, \cdot)是一个格。\\ 由于此格中的运算\cap就是集合的交运算，与(S, \cap, \cdot)等价的半序格的部分序\\ 就是集合之间包含关系\subseteq。\\ 对任意A \in S, B \in S, C \in S,\\ 如果 A \subseteq B,任取u \in A \cdot (C \cap B),\\ 于是，u = a \cdot d,其中 d \in C \cap B, a \in A, 而 A \subseteq A \cdot C,\\ 故u = a \cdot d \in (A \cdot C) \cap B,即 A \cdot (C \cap B) \subseteq (A \cdot C) \cap B. \\ 任取u \in (A \cdot C) \cap B, 于是, u \in B, u \in A \cdot C.\\ 令 u = a \cdot d(其中a \in A, d \in C),于是，d = a^{-1} \cdot u.\\ 因为a^{-1} \in A \subseteq B, u \in B, 故 a^{-1} \cdot u \in B, \\ 即d \in B.故d \in C \cap B.\\ 因此，u= a \cdot d \in A \cdot (C \cap B), \\ 即 (A \cdot C) \cap B \subseteq A \cdot (C \cap B), \\ 所以有 A \cdot (C \cap B) = (A\cdot C) \cap B \\ 由定义知，(S, \cap, \cdot)是模格.$

$定理8.4.3.格(L, \leq) 是模格的充要条件是:对于任意a,b,c \in L, 如果a \leq b, \\ a \times c = b \times c, a \oplus c = b \oplus c 则必有a = b.$
$证明：必要性。若格(L, \leq)是模格，则对任意a, b, c \in L,\\ 如果a \leq b, a \times c = b \times c, a \oplus c = b \oplus c, \\ 则 a = a \oplus ( a \times c) = a \oplus (b \times c) = b \times (a \oplus c) = b \times (b \oplus c) = b. \\ 充分性。任取a, b, c \in L, 且 a \leq b.\\ 因为(a \oplus (b \times c)) \oplus c = a \oplus ((b \times c) \oplus c) = a \oplus c \\ 又因为 a \leq b,\\ 所以 a \leq b \times (a \oplus c),\\ 故a \oplus c \leq (b \times (a \oplus c)) \oplus c \leq (a \oplus c) \oplus c = a \oplus c \\ 所以，(b \times (a \oplus c)) \oplus c = a \oplus c. \\ 因此 (a \oplus (b \times c)) \oplus c = (b \times (a \oplus c)) \oplus c \quad (1) \\ 亦即,在格(L, \leq)中，若 a \leq b,则有(1)式。\\ 根据对偶原理2，对任意a,b,c \in L, 若a \geq b,则有\\ (a \times (b \oplus c)) \times c = (b \oplus (a \times c)) \times c \\ 因此，当 a \leq b,即b \geq a时,有\\ (b \times (a \oplus c)) \times c = (a \oplus (b \times c)) \times c \quad (2) \\ 由格的分配不等式知，当a \leq b时，有 \\ a \oplus (b \times c) \leq b \times (a \oplus c) \quad (3) \\ 由(1), (2), (3)式及此定理的条件，得 a \oplus (b \times c) = b \times (a \oplus c) \\ 故，(L, \leq)式模格。$