概率统计D 07.02 参数的区间估计

$\color{blue}{\S 7.2 参数的区间估计}$

$点估计是通过构造统计量\hat {\theta} = \hat{\theta}(X_1, X_2, \cdots, X_n)来对总体X中\\ 的未知参数\theta 进行估计,由一个样本值(x_1, x_2, \cdots, x_n)可得到\theta的\\ 估计值\hat {\theta}(x_1, x_2, \cdots, x_n).这种估计值是无法知道误差的.我们要定\\ 出一个范围,并要求以一定的概率保证这个范围包含着\theta 的真值.这个\\ 范围通常以区间的形式给出,我们把这个区间称为置信区间.$

$定义：设总体X的分布中含有一个未知参数\theta, (X_1, X_2, \cdots, X_n)\\ 是来自总体X的一个样本.如果对于给定的常数\alpha(0< \alpha < 1),统\\ 计量\theta_1 = \theta_1(X_1, X_2, \cdots, X_n)与\theta_2 = \theta_2(X_1, X_2, \cdots, X_n)满足\\ P\lbrace \theta_1(X_1, X_2, \cdots, X_n) < \theta < \theta_2(X_1, X_2, \cdots, X_n) \rbrace = 1 - \alpha \quad (1) \\ 则称随机区间(\theta_1, \theta_2)是\theta的置信度为1 - \alpha的置信区间,分别称\theta_1, \theta_2\\ 为\theta的置信下限和置信上限.$
$1 - \alpha称为置信度或置信水平. (1)式的含义是,随机区间(\theta_1, \theta_2)\\ 以1-\alpha的概率包含着\theta,也就是说,对这样一个样本值(x_1, x_2, \cdots, \\ x_n)可求得一个具体的区间[\theta_1(x_1, x_2, \cdots, x_n), \theta_2(x_1, x_2, \cdots, \\ x_n)].在这些众多的区间中,包含\theta的有100(1-\alpha)\%个,不包含\theta的\\ 有100\alpha \%个.$

$例1.设总体X \sim N(\mu, \sigma^2),\sigma^2为已知,(X_1, X_2, \cdots, X_n)为来\\ 自总体X的一个样本,求\mu的置信度为1-\alpha的置信区间.$
$解:由于\overline X = \dfrac{1}{n}\sum \limits _ {i=1}^n X_i是\mu的无偏估计,且有\\ \mu = \dfrac{\overline X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1) \\ 由正态分布表可查的\mu_{\frac{\alpha}{2}},使得 \\ P\lbrace |\mu| < \mu_{\frac{\alpha}{2}} \rbrace = 1 - \alpha \\ 即有\\ P\lbrace -\mu_{\frac{\alpha}{2}} < \mu < \mu_{\frac{\alpha}{2}} \rbrace = 1 - \alpha \\ P\lbrace -\mu_{\frac{\alpha}{2}} < \dfrac{\overline X - \mu}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}} < \mu_{\frac{\alpha}{2}} \rbrace = 1 - \alpha \\ P\lbrace \overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}} < \mu < \overline X + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \mu_{\frac{\alpha}{2}} \rbrace = 1 - \alpha \\ 取\mu_1 = \overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\mu_{\frac{\alpha}{2}} ,\mu_2 = \overline X + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \mu_{\frac{\alpha}{2}},\\ 于是得到\mu的置信度为1 - \alpha的置信区间为\\ (\overline X - \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \mu_{\frac{\alpha}{2}}, \overline X + \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \mu_{\frac{\alpha}{2}})$