codevs 过路费

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题目等级 : 大师 Master
题解
题目描述 Description
在某个遥远的国家里，有 n个城市。编号为 1,2,3,…,n。这个国家的政府修建了m 条双向道路，每条道路连接着两个城市。政府规定从城市 S 到城市T需要收取的过路费为所经过城市之间道路长度的最大值。如：A到B长度为 2，B到C 长度为3，那么开车从 A经过 B到C 需要上交的过路费为 3。
佳佳是个做生意的人，需要经常开车从任意一个城市到另外一个城市，因此他需要频繁地上交过路费，由于忙于做生意，所以他无时间来寻找交过路费最低的行驶路线。然而， 当他交的过路费越多他的心情就变得越糟糕。 作为秘书的你，需要每次根据老板的起止城市，提供给他从开始城市到达目的城市，最少需要上交多少过路费。

输入描述 Input Description
第一行是两个整数 n 和m，分别表示城市的个数以及道路的条数。
接下来 m 行，每行包含三个整数 a，b，w（1≤a，b≤n，0≤w≤10^9），表示a与b之间有一条长度为 w的道路。
接着有一行为一个整数 q，表示佳佳发出的询问个数。
再接下来 q行，每一行包含两个整数 S，T（1≤S,T≤n，S≠T）, 表示开始城市S 和目的城市T。

输出描述 Output Description
输出共q行，每行一个整数，分别表示每个询问需要上交的最少过路费用。输入数据保证所有的城市都是连通的。

样例输入 Sample Input
4 5
1 2 10
1 3 20
1 4 100
2 4 30
3 4 10
2
1 4
4 1

样例输出 Sample Output
20
20

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30%的数据，满足 1≤ n≤1000，1≤m≤10000，1≤q≤100；
对于 50%的数据，满足 1≤ n≤10000，1≤m≤10000，1≤q≤10000；
对于 100%的数据，满足 1≤ n≤10000，1≤m≤100000，1≤q≤10000；

思路：这题是求最大瓶颈路，按照我的理解就是从一个点到另一个点，无论怎么走都不得不经过的一段边权最大的路（可能比较抽象），其实就是u到v所有路径中每一段中的最大边权之间取最小值。
可以证明，最大瓶颈路一定存在于最小生成树中。另外对于本题的多组查询，我们可以通过lca来快速查询最小值。
PS：顺便补充一句，lca是求解树上问题的一个利器（不要跟我提树剖、LCT什么的），通过lca，能在O（logn）的时间内求得树上两点之间的最短路径、最小最大值之类的。
代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10000+5;
const int M=100000+5;
int n,m;
struct EDGE{
    int from,to,dis;
}edge[M<<1];
struct TREE{
    int to,next,dis;
}tree[M<<1];
int head[N],tot=0;
void build(int f,int t,int d)
{
    ++tot;
    tree[tot].to=t;
    tree[tot].dis=d;
    tree[tot].next=head[f];
    head[f]=tot;
}
int fa[N];
int find(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
bool cmp(EDGE a,EDGE b)
{
    return a.dis<b.dis;
}
void kruskal()
{
    sort(edge+1,edge+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int ff=edge[i].from,tt=edge[i].to,dd=edge[i].dis;
        int fx=find(ff),fy=find(tt);
        if(fx!=fy)
        {
            fa[fx]=fy;
            cnt++;
            build(ff,tt,dd);
            build(tt,ff,dd);
        }
        if(cnt==n-1) break;
    }
}
int anc[N][25],maxx[N][25],deep[N];
void dfs(int t,int f)
{
    anc[t][0]=f;
    deep[t]=deep[f]+1;
    for(int i=head[t];i;i=tree[i].next)
    {
        int v=tree[i].to;
        if(v!=f)
        {
            maxx[v][0]=tree[i].dis;
            dfs(v,t);
        }
    }
}
void make_lca()
{
    for(int j=1;j<=log2(n);j++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
            maxx[i][j]=max(maxx[i][j-1],maxx[anc[i][j-1]][j-1]);
        }
}
int lca(int a,int b)
{
    if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b);
    for(int i=log2(n);i>=0;i--)
    {
        if(deep[anc[a][i]]>=deep[b]) a=anc[a][i];
    }
    if(a==b) return a;
    for(int i=log2(n);i>=0;i--)
    {
        if(anc[a][i]!=anc[b][i])
        {
            a=anc[a][i];
            b=anc[b][i];
        }
    }
    return anc[a][0];
}
int ask(int a,int b)
{
    int maxnum=0;
    for(int i=log2(n);i>=0;i--)
    {
        if(deep[anc[a][i]]>=deep[b])
        {
            maxnum=max(maxnum,maxx[a][i]);
            a=anc[a][i];
        }
    }
    return maxnum;
}
int main()
{
    memset(maxx,0,sizeof maxx);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v,z;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
        edge[i]=(EDGE){u,v,z};
    }
    kruskal();
    dfs(1,1);
    make_lca();
    int q;
    scanf("%d",&q);
    while(q--)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        int lcaa=lca(u,v);
        int ans=max(ask(u,lcaa),ask(v,lcaa));
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}