【笔记】字符串的最小表示法

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求字符串的循环最小表示

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1709

算法流程

我们设置两个指针i，j；设置变量k表示以i，j为开始，两字符串相同的长度；采取滑动的方式，在On的时间内实现求解

1.

初始化两个指针 i=0，j=1；

2.

k=0开始，当while(s[i+k]==s[j+k]) k++;，直到找到第一个不同（若k已经是整个字符串的长度也为找到不同，那么较前位置的指针就是ans）
在该过程中，s[i+k]和s[j+k]有3种情况
假设证明时i < j
(A) if(s[i+k]>s[j+k]) i=i+k+1; 即s[i]–s[i+k]不会是最小表示的前缀

证明：
设一ii在s[i]--s[i+k]中
则必定能在s[j]--s[j+k]中找到对应的jj使得s[jj]=s[ii]
因为s[i]-s[i+k-1]==s[j]-s[j+k-1]
所以s[jj]-s[j+k-1]==s[ii]-s[i+k-1]这两个子串是相等的，又因为s[j+k]<s[i+k]所以以ii开始的字符串大于以jj开始的字符串，
即s[i]--s[i+k]不会是最小表示的前缀

(B)if(s[i+k]<s[j+k]) j=j+k+1即s[j]–s[j+k]不会是最小表示的前缀
证明过程同上

证明：
设一jj在s[j]-s[j+k]中
则必定能在s[i]--s[i+k]中找到对应的ii使得s[ii]=s[jj]
因为s[i]-s[i+k-1]==s[j]-s[j+k-1]
所以s[ii]-s[i+k-1]==s[jj]-s[j+k-1]这两个子串是相等的，又因为s[i+k]<s[j+k]所以ii开始的字符串小于以jj开始的字符串，
即s[j]--s[j+k]不会是最小表示的前缀

(C)while(s[i+k]==s[j+k]) k++; 当k==len时，返回答案

注意：如果滑动时i，j处于同一个位置，将j++；

3.

当k=len时，返回i，j中较小的一个

当i>= len，返回j
当j>=len，返回i
注意：实际运行中，i，j的前后位置是不确定的，所以要返回其中较小的那个
i,j 都可能存有ans 两者互相更新，直到有一个更新后超过了len（包括len） 的时候 另一个即为正解

4.

进一步的优化，例如：i要移到i+k+1时，如果i+k+1 <= j的话，可以直接把i移到 j+1，因为，j到j+k已经检验过了该前缀比以i到i+k之间任何一个位前缀都小；j时的类似，移动到i+1。
不会证明

代码

未加优化
int Minn(char *s,int len){
    int i=0,j=1,k=0;
    while(i<len&&j<len){
        k=0;
        while(k<len&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
        if(k==len) return min(i,j);
        if(s[i+k]<s[j+k]) j=j+k+1;
        else i=i+k+1;
        if(i==j) j++;
    }
    if(i>=len) return j;
    else return i;
}

加上第四点优化
int Minn(char *s,int len){
    int i=0,j=1,k=0;
    while(i<len&&j<len){
        k=0;
        while(k<len&&s[i+k]==s[j+k]) k++;
        if(k==len) return min(i,j);
        if(s[i+k]>s[j+k]) {
            if(i+k+1>j) i=i+k+1;
            else i=j+1;

        }
        else {
            if(j+k+1>i) j=j+k+1;
            else j=i+1;
        }
        if(i==j) j++;//实际上此时已经不会出现这种情况
    }
    if(i>=len) return j;
    else return i;
}

在洛谷上评测，加了优化比不加优化慢，也是很迷233