【算法竞赛学习笔记】后缀自动机SAM-超经典的字符串问题详解

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title : 后缀自动机
date : 2021-11-11
tags : ACM,字符串
author : Linno

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前置知识

KMP，Trie，AC自动机等字符串基础

DFA（有限状态自动机）

后缀自动机(Suffix automaton ,SAM)

定义

字符串s的SAM是一个接受s的所有后缀的最小DFA（确定性有限自动机）。直观上SAM是给定字符串的所有字串的压缩形式。而构造的时间复杂度和空间复杂度仅为$O(n)$。一个SAM最多有2n-1个节点和3n-4条转移边。

符号定义

endpos(t)为字符串s中t的所有结束位置，endpos的集合即为SAM的状态集

subs(sta)：SAM中sta状态所包含的所有子串的集合

mxsub(sta)：sta状态所包含的子串中最长的子串

mnsub(sta)：sta状态所包含的子串中最短的子串

sz[i]：sta表示的endpos集合大小，即i号点字符串集合在整个串出现次数

nxt(sta)：sta遇到的下一个字符集合

link(sta):

性质

状态数：不超过2n-1

转移数：不超过3n-4

$DAG性质$：SAM是有向无环图，因此可以用DP计算路径条数。

状态集：所有endpos的集合即为SAM的状态集。

转移函数

nxt(sta)={ S[i+1]∣i∈endpos(sta)}nxt(sta)=\{S[i+1]|i\in endpos(sta)\}nxt(sta)={ S[i+1]∣i∈endpos(sta)}

trans(sta,c)={ x∣mxsub(sta+(c∈subs(x))}trans(sta,c)=\{x|mxsub(sta+(c\in subs(x))\}trans(sta,c)={ x∣mxsub(sta+(c∈subs(x))}

后缀链接link

sta状态链接到下一个连续后缀所在的状态，叫做后缀链接。

子串表示法

用一个点的集合以及长度len来描述一个子串

Parent树

引理1

$两个非空子串u和w(假设|u|\le |w|)的endpos相同，当且仅当字符串u是w的后缀。$

对于任意一个状态$sta$,任取$str\in subs(sta)$,都有$str$是$mxsub(sta)$的后缀。

例如：subs(7)={aabbab,abbab,bbab,bab}

任取一个字符串str,str是mxsub(7)=aabbab的后缀。

SAM中一个状态所包含的子串的集合是由长度连续的一系列字符串构成，并且由长到短，依次减少最前面的字符。

引理2

两个非空子串u和w(假设$|u|\le |w|$)，要么$endpos(u)\cap$