树的基本概念
- 节点、根节点、父节点、子节点、兄弟节点
- 一棵树可以没有任何节点，成为空树
- 一棵树可以只有一个节点，也就是只有根节点
- 子树、左子树、右子树
- 节点的度 ：子树的个数
- 树的度：所有节点度中的最大值
- 叶子节点：节点度为0 的
- 层数：根节点在第一层，根节点的子节点在第二层（有些教程从第0层开始计算）
- 节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总和（从上往下看）
- 节点的高度：从当前节点到最远的叶子节点的路径上的节点总数 (从下往上看)
- 树的深度：所有节点深度中的最大值
- 树的高度：所有节点高度中的最大值
- 树的高度 等于树的深度
有序树：
树中任意节点的子节点之间有顺序关系
无序树：
树中任意节点的子节点之间没有顺序关系
森林：
由m棵不相交的树组成的集合
二叉树（Binary Tree）
- 每个节点的度最大为2（最多拥有2棵子树）
- 左子树和右子树是有顺序的
- 即使某个节点只有一棵树，也要区分左右子树
- 非空二叉树的第i层，最多有
个节点（i>=1） - 在高度为h的二叉树上最多有
个节点（h>=1） - 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子节点个数为n0,度为2节点个数为n2，则有 n0 = n2 +1
假设 度为1 的节点个数为n1,那么二叉树的节点总数 n = n0 + n1 +n2
二叉树的边数 T = N1+2*N2 = N-1 = N0+ N1 +N2 -1 推导出 n0 = n2 +1
真二叉树（Proper Binary Tree）
所有节点的度都要么为0，要么为2
满二叉树（Full Binary Tree）
- 所有节点的度都要么为0，要么为2。且所有的叶子节点都在最后一层
- 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多、总节点数量最多
- 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树
完全二叉树（Complete Binary Tree）
- 叶子节点只会出现最后2层，且最后1层的叶子节点都靠左对齐
- 完全二叉树从根节点至倒数第2层是一棵满二叉树
- 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
- 度为1的节点只有左子树
- 度为1的节点要么是1个，要么是0个
- 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
- 假设完全二叉树的高度为h(h >=1),那么至少 个节点 最多 个节点
- 总节点数量 为n
一棵有n个节点的完全二叉树（n>0），从上倒下、从左到右对节点从1开始编号，对任意第i个节点：
- 如果i=1，它是根节点
- 如果i>1，它的父节点变化为 floor(i/2)
- 如果2i<n，它的左子节点编号为2i
- 如果2i>n，它无左子节点
- 如果2i+1<=n，它的右子节点编号为2i+1
- 如果2i+1>n，它无右子节点
一棵有n个节点的完全二叉树（n>0），从上倒下、从左到右对节点从9开始编号，对任意第i个节点：
- 如果i=0，它是根节点
- 如果i>0，它的父节点变化为 floor(i-1/2)
- 如果2i+1<n-1，它的左子节点编号为2i+1
- 如果2i+1>n-1，它无左子节点
- 如果2i+2<=n-1，它的右子节点编号为2i+2
Full Binary Tree：完满二叉树
- 所有非叶子节点的度都为2
- 就是国内说的“真二叉树”
Perfect Binary Tree：完美二叉树
- 所有的非叶子结点的度都为2，且所有的叶子节点都在最后一层
- 就是国内的“满二叉树“
Complete Binary Tree：完全二叉树
- 和国内的完全二叉树一样
在n个动态的整数中搜索某个整数？查看其是否存在
- 假设使用动态数组存放元素，从第0个位置开始遍历元素，平均时间复杂度：O(N)
- 如果维护一个有序动态数组，使用二分搜素，最坏时间复杂度：O(logn)，但是添加、删除的平均时间复杂度是O(N)
针对这种需求，有没有更好的方案？
- 使用二叉搜索树，添加、删除、搜索的最坏四件复杂度均可优化至：O（logn）
二叉搜索树
介绍
二叉搜索树是二叉树的一种，是应用非常广泛的一种二叉树，简称BST
- 又被成为：二叉查找树，二叉排序树
- 任意一个节点的值都大于其左子树的所有节点的值
- 任意一个节点的值都小于其右子树所有节点的值
- 它的左右子树也是一棵二叉搜索树
- 二叉搜索树可以大大提高搜索数据的效率
- 二叉搜索树存储的元素必须具备可比较性
比如int、double等
如果是自定义类型，需要指定比较方式、不允许为null
添加元素
- 找到父节点parent
- 创建新节点node
- parent.left = node 或者 parent.right = node
// 添加元素
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
if (root == null) {
// 添加第一个节点
root = new Node<>(element, null);
size++;
return;
}
// 添加不是第一个节点
// 找到父节点
Node<E> parent = null;
Node<E> node = root;
int cmp = 0;
while (node != null) {
cmp = compare(element, node.element);
parent = node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) { // 新加的元素比父节点小
node = node.left;
} else { // 相等 将对象覆盖
node.element = element;
return;
}
}
// 看看插入到副节点的哪个位置
Node<E> newNode = new Node<>(element, parent);
if (cmp > 0) {
parent.right = newNode;
} else {
parent.left = newNode;
}
size++;
}删除元素-叶子节点
- 直接删除
node == node.parent.left ; node.parent.left == null
node == node.parent.right； node.parent.right == null
node.parent == null; root ==null
删除元素-度为1的节点
-
用子节点代替原节点的位置
child是node.left 或者 child 是node.right，用child替代node位置 。
如果node是左子节点 child.parent = node.parent; node.parent.left = child;
如果node是右子节点 child.parent = node.parent; node.parent.right = child;
如果node 是根节点 root = child ; child.parent = null;
删除节点-度为2的节点
举例：先删除5、在删除4
- 先用前驱或者后继节点的值覆盖原节点的值
- 然后删除响应的前驱节点或者后继节点
如果一个节点的度为2，那么 它的前驱、后继节点的度只可能是1 和 0
// 删除元素
public void remove(E elemet) {
remove(node(elemet));
}
// 删除元素
public void remove(Node<E> node) {
if (node == null) return;
size--;
// 度为2的节点
if (node.hasTwoChildren()) {
// 找到后继节点
Node<E> s = successor(node);
// 用后继节点的值 覆盖度为2的节点的值
node.element = s.element;
// 删除后继节点
node = s;
}
// 删除node节点（node的度必然是1 或者 0）
Node<E> repalcement = node.left != null ? node.left : node.right;
if (repalcement != null) { // node的度是1
// 更改
repalcement.parent = node.parent;
if (node.parent == null) {// node的度是1 并且是根节点
root = repalcement;
} else if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = repalcement;
} else if (node == node.parent.right) {
node.parent.right = repalcement;
}
} else if (node.parent == null) { // node的度是0 叶子节点 并且是根节点
root = null;
} else { // node的度是0 叶子节点 但不是根结点
if (node == node.parent.right) {
node.parent.right = null;
} else {
node.parent.left = null;
}
}
}
private Node<E> node(E element) {
Node<E> node = root;
while (node != null) {
int cmp = compare(element, node.element);
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) { // 新加的元素比父节点小
node = node.left;
} else { // 相等 将对象覆盖
return node;
}
}
return null;
}前序遍历
- 根节点、前序遍历左子树、前序遍历右子树
- 7、4、2、1、3、5、9、8、11、10、12
/**
* 前序遍历
*/
public void preorderTraversal() {
preorderTraversal(root);
}
public void preorderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) return;
System.out.println(node.element);
preorderTraversal(node.left);
preorderTraversal(node.right);
}
中序遍历
- 中序遍历左子树、根节点、中旬遍历右子树
- 1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12
/**
* 中旬遍历
*/
public void inorderTraversal() {
inorderTraversal(root);
}
public void inorderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) return;
inorderTraversal(node.left);
System.out.println("BinarySearchTree.inorderTraversal:" + node.element);
inorderTraversal(node.right);
}
后序遍历
- 后序遍历左子树、后序遍历右子树、根节点
- 1、3、2、5、4、8、10、12、11、9、7
/**
* 后续遍历
*/
public void postorderTraversal() {
postorderTraversal(root);
}
public void postorderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) return;
postorderTraversal(node.left);
postorderTraversal(node.right);
System.out.println("BinarySearchTree.inorderTraversal:" + node.element);
}层序遍历
-
从上到下、从左到右依次访问每个节点
-
7、4、9、2、5、8、11、1、3、10、12
-
实现思路：使用队列
1、将根节点入队
2、循环执行以下操作，直到队列为空
- 将队头节点A出队，进行访问
- 将A的左子节点入队
- 将A的右子节点入队
/**
* 层序遍历
*/
public void leverOrderTraversal() {
if (root == null) return;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
System.out.println("BinarySearchTree.leverOrderTraversal:" + node.element);
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
}
}遍历的应用
- 前序遍历：树状结构展示
- 中旬遍历：二叉搜索树的中旬遍历按升序或者降序处理节点
- 后序遍历：使用于一些先子后父的操作
- 层序遍历：计算二叉树的高度、判断一棵树是否为完全二叉树
计算二叉树的高度
- 递归方式：计算某个节点的高度，其实就是计算它的左子树右子树最大高度+1
public Integer hight() {
return hight(root);
}
public int hight(Node<E> node) {
if (node == null) return 0;
return 1 + Math.max(hight(node.left), hight(node.right));
}- 非递归方式：使用层序遍历，通过每层的数据出队完成即为高度+1
public Integer hight2() {
if (root == null) return 0;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
int queueSize = 1;
int hight = 0;
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
queueSize--;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
if (queueSize == 0) {
queueSize = queue.size();
hight++;
}
}
return hight;
}判断一棵树是否为完全二叉树
-
如果树为空，返回false
-
如果树不为空，开始层序遍历二叉树
-
如果node.left !=null && node.right!=null将node.left、node.right 按顺序入队列
-
如果node.left == null && node.right!=null 返回false
-
如果node.left!=null && node.right==null 或者node.left==null && node.right == null
那么后面的遍历节点应该都为叶子节点，才是完全二叉树，否则返回false
public boolean isComplete() {
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.hasTwoChildren()) {
queue.offer(node.left);
queue.offer(node.right);
} else if (node.left == null && node.right != null) {
return false;
} else {
// 判断是否都是叶子节点
leaf = true;
if (node.left != null) {
queue.offer(node);
}
}
}
return true;
}
public boolean isCompleteOther() {
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
} else if (node.right != null) {
//node.left == null && node.right!=null,
return false;
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
} else {
//node.left !=null && node.right==null 或者 node.left ==null && node.right == null
leaf = true;
}
}
return true;
}翻转二叉树
public class Rollover {
/**
* 翻转二叉树 前序遍历
* @param root
* @return
*/
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if (root == null) return null;
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
return root;
}
/**
* 翻转二叉树 后序遍历
* @param root
* @return
*/
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if (root == null) return null;
invertTree(root.left);
invertTree(root.right);
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
return root;
}
/**
* 翻转二叉树 中序遍历
* @param root
* @return
*/
public TreeNode invertTree(TreeNode root) {
if (root == null) return null;
invertTree(root.left);
TreeNode tmp = root.left;
root.left = root.right;
root.right = tmp;
invertTree(root.left);
return root;
}
static class TreeNode {
int val;
TreeNode left;
TreeNode right;
TreeNode(int x) {
val = x;
}
}
}根据遍历结果重构二叉树
- 前序遍历+中序遍历
- 后序遍历+中序遍历
前序遍历：4 2 1 3 6 5
中序遍历：1 2 3 4 5 6
前驱节点
- 中序遍历时的前一个节点
如果是二叉搜索树，前驱节点就是前一个比它小的节点
- node.left !=null 举例 ：6、13、8 ，predecessor = node.left.right.right.right....，终止条件：right 为null
- node.left == null && node.parent !=null 举例：7、11、9、1，predecessor = node.parent.parent....，终止条件：node 在parent的右子树中
- node.left == null && node.parent ==null 那就是没有前驱节点
/**
* 获取前驱节点
* @param node
* @return
*/
public Node<E> predecessor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
Node<E> p = node.left;
// 前驱节点在左子树当中 left.right.right.right
if (p != null) {
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中国呢寻找前驱节点
Node<E> parent = node.parent;
while (parent != null && node == node.parent.left) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}
后继节点
- 后继节点：中序遍历时的后一个节点
如果时二叉搜索树，后继节点就是后一个比它大的节点
- node.right!=null 举例 1、8、4 suceessor = node.right.left.left.left.... 终止条件：left 为null
- node.right == null && node.parent !=null 举例 7、6、3、11 suceessor = node.parent.parent.parent.... 终止条件: node在parent的左子树中
- node.right == null && node.parent ==null 那就没有后继节点
/**
* 获取后继节点
* @param node
* @return
*/
public Node<E> successor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
Node<E> p = node.right;
if (p != null) {
while (p.left != null) {
p = p.left;
}
return p;
}
Node<E> parent = node.parent;
while (parent != null && node == node.parent.right) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}整体代码
package com.jvm.letcode;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class BinaryTree<E> {
protected int size;
protected Node<E> root;
// 清空所有元素
public void clear() {
root = null;
size = 0;
}
// 元素的数量
public int size() {
return size;
}
// 是否为空
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 前序遍历
*/
public void preorder(Visitor<E> visitor) {
preorderTraversal(root, visitor);
}
public void preorderTraversal(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null) return;
preorderTraversal(node.left, visitor);
preorderTraversal(node.right, visitor);
}
/**
* 中旬遍历
*/
public void inorder(Visitor<E> visitor) {
inorder(root, visitor);
}
public void inorder(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null) return;
inorder(node.left, visitor);
visitor.visit(node.element);
inorder(node.right, visitor);
}
/**
* 后续遍历
*/
public void postorder(Visitor<E> visitor) {
postorder(root, visitor);
}
public void postorder(Node<E> node, Visitor<E> visitor) {
if (node == null) return;
postorder(node.left, visitor);
postorder(node.right, visitor);
System.out.println("BinarySearchTree.inorderTraversal:" + node.element);
}
/**
* 层序遍历
*/
public void levelOrder(Visitor<E> visitor) {
if (root == null || visitor == null) return;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
visitor.visit(node.element);
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
}
}
/**
* 获取前驱节点
*
* @param node
* @return
*/
protected Node<E> predecessor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
Node<E> p = node.left;
// 前驱节点在左子树当中 left.right.right.right
if (p != null) {
while (p.right != null) {
p = p.right;
}
return p;
}
// 从父节点、祖父节点中国呢寻找前驱节点
Node<E> parent = node.parent;
while (parent != null && node == node.parent.left) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}
/**
* 获取后继节点
*
* @param node
* @return
*/
protected Node<E> successor(Node<E> node) {
if (node == null) return null;
Node<E> p = node.right;
if (p != null) {
while (p.left != null) {
p = p.left;
}
return p;
}
Node<E> parent = node.parent;
while (parent != null && node == node.parent.right) {
node = node.parent;
}
return node.parent;
}
public Integer hight() {
return hight(root);
}
public int hight(Node<E> node) {
if (node == null) return 0;
return 1 + Math.max(hight(node.left), hight(node.right));
}
public Integer hight2() {
if (root == null) return 0;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
int queueSize = 1;
int hight = 0;
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
queueSize--;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
}
if (queueSize == 0) {
queueSize = queue.size();
hight++;
}
}
return hight;
}
public boolean isComplete() {
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.hasTwoChildren()) {
queue.offer(node.left);
queue.offer(node.right);
} else if (node.left == null && node.right != null) {
return false;
} else {
// 判断是否都是叶子节点
leaf = true;
if (node.left != null) {
queue.offer(node);
}
}
}
return true;
}
public boolean isCompleteOther() {
if (root == null) return false;
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
boolean leaf = false;
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
if (leaf && !node.isLeaf()) return false;
if (node.left != null) {
queue.offer(node.left);
} else if (node.right != null) {
//node.left == null && node.right!=null,
return false;
}
if (node.right != null) {
queue.offer(node.right);
} else {
//node.left !=null && node.right==null 或者 node.left ==null && node.right == null
leaf = true;
}
}
return true;
}
public Object root() {
return root;
}
public Object left(Object node) {
return ((Node<E>) node).left;
}
public Object right(Object node) {
return ((Node<E>) node).right;
}
public Object string(Object node) {
return ((Node<E>) node).element;
}
/**
* 遍历接口
*
* @param <E>
*/
public static interface Visitor<E> {
void visit(E element);
}
protected static class Node<E> {
E element;
Node<E> left;
Node<E> right;
Node<E> parent;
public Node(E element, Node<E> parent) {
this.element = element;
this.parent = parent;
}
public boolean isLeaf() {
return left == null && right == null;
}
public boolean hasTwoChildren() {
return left != null && right != null;
}
}
}
package com.jvm.letcode;
/**
* 二叉搜索树
*
* @param <E>
*/
public class BinarySearchTree<E> extends BinaryTree {
private Comparator<E> comparator;
public BinarySearchTree(Comparator<E> comparator) {
this.comparator = comparator;
}
// 添加元素
public void add(E element) {
elementNotNullCheck(element);
if (root == null) {
// 添加第一个节点
root = new Node<>(element, null);
size++;
return;
}
// 添加不是第一个节点
// 找到父节点
Node<E> parent = null;
Node<E> node = root;
int cmp = 0;
while (node != null) {
cmp = compare(element, node.element);
parent = node;
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) { // 新加的元素比父节点小
node = node.left;
} else { // 相等 将对象覆盖
node.element = element;
return;
}
}
// 看看插入到副节点的哪个位置
Node<E> newNode = new Node<>(element, parent);
if (cmp > 0) {
parent.right = newNode;
} else {
parent.left = newNode;
}
size++;
}
private int compare(E element1, E element2) {
return comparator.comparator(element1, element2);
}
// 删除元素
public void remove(E elemet) {
remove(node(elemet));
}
// 删除元素
public void remove(Node<E> node) {
if (node == null) return;
size--;
// 度为2的节点
if (node.hasTwoChildren()) {
// 找到后继节点
Node<E> s = successor(node);
// 用后继节点的值 覆盖度为2的节点的值
node.element = s.element;
// 删除后继节点
node = s;
}
// 删除node节点（node的度必然是1 或者 0）
Node<E> repalcement = node.left != null ? node.left : node.right;
if (repalcement != null) { // node的度是1
// 更改
repalcement.parent = node.parent;
if (node.parent == null) {// node的度是1 并且是根节点
root = repalcement;
} else if (node == node.parent.left) {
node.parent.left = repalcement;
} else if (node == node.parent.right) {
node.parent.right = repalcement;
}
} else if (node.parent == null) { // node的度是0 叶子节点 并且是根节点
root = null;
} else { // node的度是0 叶子节点 但不是根结点
if (node == node.parent.right) {
node.parent.right = null;
} else {
node.parent.left = null;
}
}
}
private Node<E> node(E element) {
Node<E> node = root;
while (node != null) {
int cmp = compare(element, node.element);
if (cmp > 0) {
node = node.right;
} else if (cmp < 0) { // 新加的元素比父节点小
node = node.left;
} else { // 相等 将对象覆盖
return node;
}
}
return null;
}
// 是否包含某元素
public boolean contains(E element) {
return node(element) != null;
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
toString(root, sb, "");
return sb.toString();
}
public void toString(Node<E> node, StringBuilder sb, String prefix) {
if (node == null) return;
toString(node.left, sb, prefix + "L---");
sb.append(prefix).append(node.element).append("\n");
toString(node.right, sb, prefix + "R---");
}
private void elementNotNullCheck(E element) {
if (element == null) {
throw new IllegalArgumentException("element must not be null");
}
}
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = new Integer[]{7, 4, 9, 2, 1, 3, 5, 9, 8, 11, 10, 12};
BinarySearchTree<Integer> bst = new BinarySearchTree<Integer>(new Comparator<Integer>() {
@Override
public int comparator(Integer e1, Integer e2) {
return e1 - e2;
}
});
for (Integer i : a) {
bst.add(i);
}
System.out.println("BinarySearchTree.main:" + bst.hight2());
System.out.println("BinarySearchTree.main:" + bst.hight());
bst.levelOrder(new Visitor<Integer>() {
@Override
public void visit(Integer element) {
System.out.println("_" + element + "_");
}
});
}
}
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