树状数组求第K小元素

本文介绍了如何利用树状数组在O(log(n))的时间复杂度内求解第K小元素的问题,详细阐述了树状数组的基本思路,并提供了一段C++实现的代码示例,包括insert函数和find函数,适用于在线计算场景。

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求第K小元素有类似于qsort的分治算法,但时间复杂度是O(n)的,如果在线求的话耗时可能比较长,前几天听了Fallingflowers大牛讲的用树状数组求区间第K小元素,感触很深,这种算法的时间复杂度是O(log(n))的,如果要求在线计算的话显然很有优势。

基本思路是:

先开一个数组,其中记录某个数出现次数,每输入一个树,相当于将该数出现次数加1,对应到树状数组中就相当于insert(t, 1),统计的时候,可以利用树状数组的求和,既可以二分枚举,也可以利用数的二进制表示,下面的代码有效地利用了数的二进制表示。

 

 

 

 

以下是某位大牛的代码:

 

 

#include <iostream>
using namespace std;

#define maxn 1<<20
int n,k;
int c[maxn];

int lowbit(int x){
    
return x&-x;
}

void 

<think>好的,我现在需要回答用户关于如何用树状数组(Fenwick Tree)实现区间最值查询的问题。首先,我需要回忆树状数组的基本结构和常规用途。树状数组通常用于高效处理前缀和或者区间和的查询与单点更新,时间复杂度为O(log n)。但用户问的是区间最值查询,这和常规的和不同,可能需要不同的处理方式。 首先,我得确定树状数组是否适合处理区间最值。根据已有的知识,树状数组的结构是基于二进制的索引,每个节点存储的是特定区间的和。如果要用于最值查询,可能需要对存储的内容进行调整,每个节点存储对应区间的最大值或最小值,而不是和。但需要验证这种方法的可行性。 接下来,我需要查阅相关资料或回忆是否有相关实现。根据引用中的内容,用户提供的引用主要讨论树状数组的构建、操作以及与线段树的对比,但没有直接提到区间最值。因此,可能需要自己推导或参考其他资源。 树状数组用于最值查询的难点在于其更新和查询的逻辑。在和时,父节点的更新可以通过累加来实现,但最值需要比较子节点的值,这可能破坏树状数组的高效性。例如,在更新一个点时,可能需要更新多个父节点,但如何确定哪些父节点会受到当前节点变化的影响? 可能的解决方案是,每个树状数组节点存储对应区间的最值。当更新一个点时,需要向上更新所有相关父节点,比较并更新它们的最值。但这样可能在最坏情况下导致较高的时间复杂度,不再是O(log n)。或者,是否有方法保持O(log n)的时间复杂度? 例如,假设原数组为arr,树状数组为maxTree。每个maxTree[i]存储的是从i往前lowbit(i)个元素中的最大值。当更新arr[j]时,需要更新所有包含j的区间对应的maxTree节点。在查询区间[l, r]的最大值时,可能需要分解区间,类似和的方式,但比较各个分解区间的最大值。 但具体如何分解区间呢?在和时,树状数组通过前缀和相减得到区间和。而最值无法通过前缀相减得到,因此可能需要不同的查询策略。比如,从右端点开始,逐步向左跳转,比较各个块的最大值。 这可能需要重新设计树状数组的存储和查询方式。例如,对于查询区间最大值,可能需要将区间分解成若干个树状数组中的块,分别查询这些块的最大值,然后取整体最大值。但这样的分解是否可行? 此外,初始化树状数组时,每个节点的最值需要正确计算。例如,maxTree[i] = max(arr[i - lowbit(i) + 1 ... i])。这可能需要预处理。 然后,当更新一个元素arr[j]时,需要更新所有覆盖j的maxTree节点,即沿着父节点路径向上,重新计算这些节点存储的最值。这可能需要遍历父节点,并比较其子节点的最大值。 例如,当更新位置j的元素,从j开始,依次更新i = j, i += lowbit(i)直到超出数组长度,每个i对应的maxTree[i]需要重新计算,取对应区间内的最大值。这可能涉及到访问该区间内的所有元素,从而使得更新时间复杂度变为O((log n)^2)或者更高,这取决于具体实现。 例如,假设要更新maxTree[i],其对应的区间是[i - lowbit(i) + 1, i]。要重新计算这个区间的最大值,可能需要遍历该区间的所有元素,或者有其他更高效的方式。但这样会导致每次更新时间复杂度变高,可能达到O(log n * log n)的时间,因为每个节点可能需要遍历其对应的区间。 相比之下,线段树在处理区间最值查询时,每个节点明确存储区间范围,并且更新和查询的时间复杂度都是O(log n)。但树状数组的结构不同,可能需要更复杂的处理。 因此,虽然树状数组可以实现区间最值查询,但可能不如线段树高效,或者实现起来较为复杂。需要权衡两者的优缺点。 接下来,我需要将这些思路整理成一个步骤化的回答,说明如何实现树状数组的区间最值查询。可能的步骤包括: 1. 修改树状数组的存储内容,每个节点存储对应区间的最大值。 2. 更新操作时,向上更新所有相关节点,重新计算每个节点的最大值。 3. 查询操作时,分解区间,逐步比较各块的最大值。 具体实现时,初始化阶段需要构建每个节点的最大值。例如,对于每个i,maxTree[i] = max(arr[k]),其中k属于区间[i - lowbit(i) + 1, i]。初始化可能需要O(n log n)的时间。 对于更新操作,当更新arr[j]时,需要找到所有包含j的maxTree节点,并重新计算它们的最大值。例如,从j开始,依次向上到父节点,每个父节点对应的区间可能包含j,因此需要更新其最大值。这个过程可能需要遍历父节点,并重新计算该区间的最大值,这可能通过检查该区间的所有子节点或者直接访问原数组中的元素。 例如,假设更新位置j的元素值,那么对于每个父节点i(通过不断加lowbit(i)得到),需要重新计算maxTree[i]的值。要计算maxTree[i],需要知道该节点对应的区间范围,即从i - lowbit(i) + 1到i,然后遍历这个区间内的所有位置,或者是否有更高效的方式? 如果遍历整个区间来重新计算最大值,这会导致每次更新的时间复杂度变为O(log n * log n),因为每个父节点的区间长度是lowbit(i),而lowbit(i)可能为2^k,所以平均可能需要O(log n)时间来处理每个父节点,总共有O(log n)个父节点需要处理,总时间复杂度O((log n)^2)。 这可能比线段树的O(log n)更慢,但可能在特定场景下仍有用处。 对于查询操作,例如查询区间[l, r]的最大值,需要分解区间,类似和时的前缀和之差,但最值无法直接相减。因此可能需要从r开始,逐步向左跳转,收集各个块的最大值,直到到达l的位置。例如,初始化当前最大值为-∞,然后从r开始,如果当前块属于区间[l, r],则取该块的最大值并与当前最大值比较,然后移动到该块左边的位置,重复直到覆盖整个区间。 例如,查询区间[l, r]的最大值的步骤可能如下: 初始化res为-∞。 当前位置pos从r开始。 循环: 如果pos - lowbit(pos) + 1 >= l,则取maxTree[pos]与res比较,更新res,然后pos -= lowbit(pos)。 否则,取arr[pos]与res比较,更新res,然后pos -= 1。 直到pos < l。 这个过程可能需要O(log n)的时间,但具体是否正确需要验证。 现在,我需要确认这种查询方法的正确性。例如,当分解区间为若干个块,每个块对应树状数组中的一个节点,这样是否能够覆盖整个区间[l, r],并且每个块不重叠? 例如,当处理r时,如果当前块的范围是[pos - lowbit(pos) + 1, pos],如果这个块的左端点大于等于l,则这个块完全包含在[l, r]中,可以直接取该块的最大值。否则,只能取当前元素arr[pos],然后向左移动一位。 这样逐步分解,可以覆盖整个区间,确保每个元素都被考虑,从而得到正确的最大值。这个过程可能需要O(log n)的时间,因为每次移动的步长是lowbit(pos),而lowbit(pos)随着pos的减小而可能逐渐增大,类似于和时的查询过程。 综上,树状数组可以用于区间最值查询,但需要调整其存储结构,并且在更新时需要更复杂的处理,可能导致更高的时间复杂度。因此,虽然可行,但可能不如线段树高效,尤其是在需要频繁更新的情况下。 最后,我需要将上述分析整理成一个结构化的回答,包括实现步骤、代码示例以及相关的问题。同时,根据用户提供的引用,可能引用其中的内容,例如提到树状数组的基本结构,如引用[2]和[3]中的代码示例。</think>### 如何用树状数组(Fenwick Tree)实现区间最值查询? 树状数组(Fenwick Tree)通常用于高效计算前缀和或区间和,但其结构稍作调整后也可支持区间最值查询。然而,实现这一功能需要对存储逻辑和操作进行特殊设计,且时间复杂度可能略高于传统应用场景[^2]。 --- #### **实现步骤** 1. **修改树状数组的存储逻辑** 每个节点不再存储区间和,而是存储其覆盖区间的最大值。例如,节点 $i$ 的覆盖区间为 $[i - \text{lowbit}(i) + 1, i]$,其值 $\text{maxTree}[i]$ 表示该区间的最大值。 2. **初始化** 初始化时,逐项插入原始数组的值,并在每次插入后更新所有相关父节点的最大值: ```python class FenwickTreeMax: def __init__(self, size): self.n = size self.tree = [-float('inf')] * (self.n + 1) # 初始化为极小值 self.arr = [0] * (self.n + 1) # 原始数组的副本 def update(self, idx, value): if value <= self.arr[idx]: # 若新值不大于原值,无需更新 return self.arr[idx] = value while idx <= self.n: if self.tree[idx] < value: self.tree[idx] = value else: break # 提前终止,父节点无需更新 idx += idx & -idx # 跳转到父节点 ``` 3. **查询区间最大值** 从右端点逐步向左分解区间,依次比较覆盖块的最大值: ```python def query_max(self, l, r): res = -float('inf') while r >= l: if r - (r & -r) + 1 >= l: res = max(res, self.tree[r]) r -= r & -r else: res = max(res, self.arr[r]) r -= 1 return res ``` --- #### **时间复杂度分析** - **更新操作**:最坏情况下为 $O(\log n)$,但可能因提前终止而优化。 - **查询操作**:$O(\log n)$,与区间和查询类似。 --- #### **对比线段树** 树状数组实现最值查询的代码更简洁,但存在以下局限性[^4]: 1. **更新效率不稳定**:若新值小于原值,需重新扫描覆盖区间内的所有元素以确定最大值,时间复杂度可能退化为 $O(\log n \cdot \log n)$。 2. **仅支持单点更新**:区间更新需要更复杂的扩展设计。 --- #### **应用场景** - 静态或低频更新的数据集。 - 需要快速查询区间最值且代码实现要简洁的场景。 ---
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