质数前缀积构造难题解析

最新推荐文章于 2025-12-04 22:00:44 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-04 22:00:44 发布 · 299 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3599

这道题算是一道比较难的构造题，主要是第二种构造难度相对较高.

X=1的构造：

要让数列前缀和 $sum$ 在模n意义下不同，我们发现如果n放在第i个，则有 $sum_i-sum_{i-1}=n\implies sum_i \equiv sum_{i-1}(mod\ n),i>1$ ,此时不满足各不相同，因此n必然放在第1个，即 $sum_1\equiv 0(mod\ n)$ . 同时，由于 $sum_n=\frac{n(n+1)}{2}$ ,因此若n为奇数时（除1外），必然有 $sum_1\equiv sum_n\equiv 0(mod\ n)$ ，故将该情况排除；考虑n为偶数时的构造：我们可以让前缀和依次为0，-1，1，-2，2…即可，此时各数即为0，-1，2，-3，4…即 $a_i=(-1)^{i-1}(i-1)$ ，此时可以满足条件.

这组构造相对简单，我们主要考虑下面情况；

X=2的构造：

要让数列前缀积 $accu$ 在模n意义下不同，n必然在最后，否则其之后的前缀积全为0. 若n为合数，则必然可分解为 $n=ab,a<n,b<n$ ，即必然会使出现二者之后前缀积全为0，排除此情况. 考虑n为质数时，我们不妨令前缀积依次为1，2，3，4…n，则

$a_n=\begin{cases} 1,n=1\\ \frac{n}{n-1},n>1 \end{cases}$ ，由于n为质数，可通过费马小定理求其逆元（当然也可以线性递推）.

注意：n=4要特判，因为4=2×2，无法分解为两不同小于4的数的乘积，可以给出构造。

两种情况n=1都直接输出“2 1”即可。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long//记得开long long，不然快速幂会爆int
ll const N=1e5+10;
ll X,T,n;
namespace locax{
	inline ll check(ll n){
		for(ll i=2;i*i<=n;i++){
			if(n%i==0)return 1;
		}
		return 0;
	}
	inline ll qukpow(ll a,ll b){
		if(b==1)return a;
		ll res=qukpow(a,b/2);
		if(b&1)return (((res*res)%n)*a)%n;
		else return (res*res)%n;
	}
	inline void solve1(ll n){
		if(n==1){
			cout<<"2 1\n";return;
		}
		if(n&1){
			cout<<"0\n";return;
		}
		cout<<"2 ";
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			if(i&1)cout<<n+1-i<<' ';
			else cout<<i-1<<' ';
		}
		cout<<'\n';
	}
	inline void solve2(ll n){
		if(n==1){
			cout<<"2 1\n";return;
		}
		if(n==4){
			cout<<"2 1 3 2 4\n";
			return;
		}
		if(check(n)){
			cout<<"0\n";
			return;
		}
		cout<<"2 1 ";
		for(ll i=2;i<n;i++){
			cout<<(i*qukpow(i-1,n-2))%n<<' ';
		}
		cout<<n<<'\n';
	}
}
int main(){
	cin>>X>>T;
	if(X==1){
		while(T--){
			cin>>n;locax::solve1(n);
		}
	}
	else{
		while(T--){
			cin>>n;locax::solve2(n);
		}
	}
	return 0;
}