【数论Day3】进制问题 题解

数论进入第三天，进制问题是常用提醒，是数论的一个重要知识点，常考！

题面：

1.K进制数(Kbased.pas/c/cpp)

首先明确数据范围：

【数据规模和约定】

  对于40%的数据，a的长度不超过5。

  对于100%的数据，a的长度不超过100000。

对于40%暴力枚举不多说，上代码：

var t,i,k,tt:longint;
    a:qword;
    s:string;
function pow(x,n:qword):qword;
begin
  if n=0 then exit(1);
  pow:=pow(x,n>>1);
  pow:=pow*pow;
  if n mod 2=1 then pow:=(pow*x);
end;
function f(s:string):qword;
var tx,i:longint;
    w:array[0..5]of longint;
    x:qword;
begin
 fillchar(w,sizeof(w),0);
 w[0]:=length(s);
 for i:=1 to length(s) do begin
  if (s[i]<='9')and(s[i]>='0') then
  w[i]:=ord(s[i])-ord('0')
  else w[i]:=ord(s[i])-ord('A')+10;
 end;
 x:=0;
 tx:=w[0]-1;
 for i:=1 to w[0] do begin
 x:=x+pow(k,tx)*w[i]; dec(tx); end;
 exit(x);
end;
begin
assign(input,'kbased.in');
assign(output,'kbased.out');
reset(input);
rewrite(output);
 readln(t);
 for i:=1 to t do begin
  readln(k);
  readln(s);
  a:=f(s);
  if a mod (k-1)=0 then writeln('yes')
  else writeln('no');
 end;
end.

40分非常妥！

但是：对于100%的数据，a的长度不超过100000。

怎么处理？

思考一个问题：每一个k进制数可以表示为什么？

●任何一个k进制正整数都可以写成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

这是初赛的内容吧，相信来看题解的人这点心中自然明确。

对于几乎要达到线性的时间复杂度来说，必须要从Kⁿ这里下手！

那么来看一个非常简单的例子：

∵k⁰=1，∴ k⁰ mod (k-1) = 1；

∵k¹=k-1+1，∴ k¹ mod (k-1) = 1；

∵k² = k*k，∴ k² mod (k-1) = 1；

……

●所以推出：kⁿ = k^n-1*k，kⁿ mod (k-1) = 1

没问题吧？

●任何一个k进制正整数都可以写成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

又因为所有的k^?模k-1都是1（？是一个常数）

所以任何一个k进制正整数，模k-1的结果，都等于它各个数位上数字之和模k-1。

【程序】

var  w:array[0..100000]of longint;
     t,i,k:longint;
     s:ansistring;
     a:qword;
function f(s:ansistring):qword;
var i:longint;
    ans:qword;
begin
 fillchar(w,sizeof(w),0);
 w[0]:=length(s);
 ans:=0;
 for i:=1 to length(s) do begin
  if (s[i]<='9')and(s[i]>='0') then
  w[i]:=ord(s[i])-ord('0')
  else w[i]:=ord(s[i])-ord('A')+10;
  inc(ans,w[i]);
 end;
 exit(ans);
end;
begin
assign(input,'kbased.in');
assign(output,'kbased.out');
reset(input);
rewrite(output);
 readln(t);
 for i:=1 to t do begin
  readln(k);
  readln(s);
  fillchar(w,sizeof(w),0);
  a:=f(s);
  if a mod (k-1)=0 then writeln('yes')
  else writeln('no');
 end;
 close(input);
 close(output);

end.

2.C and.pas/c/cpp

暴力出奇迹：

20%：N<=1000

另外20%：只有0和1

不解释O(n^2)；

非暴力出满分：

【样例分析】

And去运算：0 and 0=0  0 and 1=0  1 and 0=0  1 and 1=1

第1与第2数	第1与第3数	第2与第3数		举例：5 and 23
1 and 2	1 and 1	2 and 1		00101 and  10111       00101
01 and  10	01 and  01	10 and  01
00	01	00		5

最大数为1 and 1=1。

另外几个数字！

举例：4个数11 6 10 8

 1011

 0110

 1010

 1000

看出来了吧？

用1 2 4得出的数最大！

所以,可以用贪心来解决：为使两数的and最大，故从高位开始（从左向右a[]<=10⁹:31位到0位）枚举，看第1列的1个数有否大于等于2个；若找到，则将其它第1列为0的设为不可用(vis[MAX_N])。继续找后面位也同样处理。

取第i位是否为1：a[j]>>i mod 2=1。同理第i位是否为1: a[j]>>i mod 2=0;

答案为ans:=ans+(1<<i);

var n,i,j,ans,cnt:longint;
    a:array[1..100000]of longint;
    u:array[1..100000]of boolean;
begin
assign(input,'and.in');
assign(output,'and.out');
reset(input);
rewrite(output);
 readln(n);
 fillchar(u,sizeof(u),true);
 for i:=1 to n do read(a[i]);
 for i:=31 downto 0 do begin
  cnt:=0;
  for j:=1 to n do begin
  if (a[j]>>i mod 2=1)and(u[j]) then inc(cnt);
  end;
  if cnt>=2 then begin
    ans:=ans+(1<<i);
    for j:=1 to n do
     if a[j]>>i mod 2=0 then u[j]:=false;
  end;
 end;
 writeln(ans);
 close(input);
 close(output);
end.