B4038 [GESP202409 三级] 平衡序列

题目描述

小杨有一个包含 n 个正整数的序列 a。他认为一个序列是平衡的当且仅当存在一个正整数 i（1≤i<n）使得序列第 1 到第 i 个数字的总和等于第 i+1 到第 n 个数字的总和。

小杨想请你判断序列 a 是否是平衡的。

输入格式

本题单个测试点内包含多组测试数据。第一行是一个正整数 t，表示测试用例组数。

接下来是 t 组测试用例。对每组测试用例，一共两行。

第一行包含一个正整数 n，表示序列长度。
第二行包含 n 个正整数，代表序列 a。

输出格式

对每组测试用例输出一行一个字符串。如果 a 是平衡的，输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例

输入 #1

3
3
1 2 3
4
2 3 1 4
5
1 2 3 4 5

输出 #1

Yes
Yes
No

说明/提示

样例 1 解释

• 对第一组测试用例，令 i=2，有 1+2=3，因此序列是平衡的。
• 对第二组测试用例，令 i=2，有 2+3=1+4，因此序列是平衡的。
• 对第三组测试用例，不存在满足要求的 i。

数据规模与约定

对全部的测试数据，保证 1≤t≤100，1≤n,ai​≤10000。

这道题的核心思想是，判断一个序列是否可以通过某个位置划分成两部分，使得这两部分的和相等。也就是说，存在一个位置 i，使得前面部分的和等于后面部分的和。

解题思路：

1. 前缀和的概念： 对于一个序列 a = [a1, a2, ..., an]，我们可以计算前缀和 sum[i]，表示序列前 i 个元素的和。

   • sum[i] = a1 + a2 + ... + ai
   • sum[n] 即是整个序列的和。

2. 目标： 我们需要找出一个位置 i，使得：

   • 前 i 个元素的和（即 sum[i]）等于后 i+1 到 n 的和（即 sum[n] - sum[i]）。

   这可以转化为条件：

   • sum[i] = sum[n] - sum[i]
   • 即 2 * sum[i] = sum[n]

3. 具体步骤：

   • 对于每个测试用例，首先计算整个序列的总和 total_sum = sum[a]。
   • 然后遍历序列，计算每个位置的前缀和 prefix_sum，并在每一步判断 2 * prefix_sum == total_sum。
   • 如果存在某个 i 满足这个条件，则该序列是平衡的，否则不是。

4. 边界条件：

   • 注意我们只需要检查 1 <= i < n，即 i 必须是一个有效的分割位置。

5. 复杂度分析：

   • 对于每个测试用例，计算总和 total_sum 需要 O(n) 时间，遍历每个位置检查条件也需要 O(n) 时间。所以每个测试用例的时间复杂度是 O(n)。
   • 总体的时间复杂度是 O(t * n)，其中 t 是测试用例的个数，n 是序列的长度。

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>  // 引入所有标准库，简化输入输出和常用函数的调用
using namespace std;  // 使用标准命名空间，避免每次都写std::

int a[100005];  // 声明一个数组a，大小为100005，用来存储输入的数列
int t,n;  // t为测试用例的个数，n为每个测试用例中的数列的长度

int main(){
    cin >> t;  // 读取测试用例的数量
    while(t--){  // 循环处理每一个测试用例
        cin >> n;  // 读取当前测试用例中的数列长度n
        for(int i = 1; i <= n; i++)  // 输入当前数列中的n个元素
            cin >> a[i];

        // 将a[i]更新为a[i]加上a[i-1]，也就是做前缀和运算
        for(int i = 1; i <= n; i++)  
            a[i] = a[i] + a[i-1];

        bool flag = 0;  // 标志变量，记录是否满足条件
        // 遍历数组a，判断是否存在一个位置i，满足a[i] == a[n] - a[i]
        for(int i = 2; i < n; i++)  
            if(a[i] == a[n] - a[i])  // 如果找到了符合条件的i
                flag = 1;  // 设置flag为1，表示找到解

        // 根据flag的值输出结果
        if(flag) 
            cout << "Yes" << endl;  // 如果找到符合条件的i，输出"Yes"
        else 
            cout << "No" << endl;   // 否则，输出"No"
    }
    return 0;  // 程序结束
}