0.99循环竟然=0!

证明0.99(9循环)=0

0.99(9循环)=0.999……(∞个“9”)

当我们在“0.”后面每写10个“9”,就随机擦去1个“9”,进行一次此操作后,得:“0.”后跟(10-1)个“9”,即9个“9”

经过∞次操作后,得:“0.”后跟∞(10-1)个“9”,即9∞个“9”,即∞个“9” 所以经过∞次此操作后的结果=0.99(9循环)

依次将0.99(9循环)中的“9”标上序号,即:

0. 9   9   9   9  9 ……

   ① ② ③ ④ ⑤ ……

一次操作后,①号“9”还存在的概率是:\frac{9}{10}

二次操作后,①号“9”还存在的概率是:\frac{9}{10}\times\frac{18}{19}

三次操作后,①号“9”还存在的概率是:\frac{9}{10}\times\frac{18}{19}\times\frac{27}{28}

以此类推,完成∞次操作结束后,①号“9”还存在的概率是: \frac{9}{10}\times\frac{18}{19}\times\frac{27}{28}\times……\times\frac{9n}{9n+1}(当n趋于∞时)

=\frac{1}{\frac{10}{9}\times \frac{19}{18}\times \frac{28}{27}\times......\times\frac{9n+1}{9n}}

=\frac{1}{(1+\frac{1}{9})\times(1+\frac{1}{18})\times(1+\frac{1}{27})\times......\times(1+\frac{1}{9n})}

\leq\frac{1}{\frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{27}+......+\frac{1}{9n}}

=\frac{1}{\frac{1}{9}\times(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{n})}

=9\times\frac{1}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{n}}

=0

即①号“9”还存在的概率是0,它有100%的概率在某一次被擦掉了

同样的算法,②号“9”,③号“9”,所有的“9“还存在的概率都是0

所以“0.”后跟着“9”的概率也是0

即结果为0

所以0.99(9循环)=0

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