0.99循环竟然=0！

ljb_c++888

于 2025-04-21 13:20:29 发布

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文章标签：概率论

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证明0.99（9循环）=0

0.99（9循环）=0.999……（∞个“9”）

当我们在“0.”后面每写10个“9”，就随机擦去1个“9”，进行一次此操作后，得：“0.”后跟（10-1）个“9”，即9个“9”

经过∞次操作后，得：“0.”后跟∞（10-1）个“9”，即9∞个“9”，即∞个“9” 所以经过∞次此操作后的结果=0.99（9循环）

依次将0.99（9循环）中的“9”标上序号，即：

0. 9 9 9 9 9 ……

① ② ③ ④ ⑤ ……

一次操作后，①号“9”还存在的概率是： $\frac{9}{10}$

二次操作后，①号“9”还存在的概率是： $\frac{9}{10}$ $\times$ $\frac{18}{19}$

三次操作后，①号“9”还存在的概率是： $\frac{9}{10}$ $\times$ $\frac{18}{19}$ $\times$ $\frac{27}{28}$

以此类推，完成∞次操作结束后，①号“9”还存在的概率是： $\frac{9}{10}$ $\times$ $\frac{18}{19}$ $\times$ $\frac{27}{28}$ $\times$ …… $\times$ $\frac{9n}{9n+1}$ （当n趋于∞时）

= $\frac{1}{\frac{10}{9}\times \frac{19}{18}\times \frac{28}{27}\times......\times\frac{9n+1}{9n}}$

= $\frac{1}{(1+\frac{1}{9})\times(1+\frac{1}{18})\times(1+\frac{1}{27})\times......\times(1+\frac{1}{9n})}$

$\leq$ $\frac{1}{\frac{1}{9}+\frac{1}{18}+\frac{1}{27}+......+\frac{1}{9n}}$

= $\frac{1}{\frac{1}{9}\times(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{n})}$

= $9\times\frac{1}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+......+\frac{1}{n}}$

=0

即①号“9”还存在的概率是0，它有100%的概率在某一次被擦掉了

同样的算法，②号“9”，③号“9”，所有的“9“还存在的概率都是0

所以“0.”后跟着“9”的概率也是0

即结果为0

所以0.99（9循环）=0

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