SDNU 1062

题目链接：斐波那契数列

矩阵快速幂！

网上一篇博客讲矩阵快速幂讲得非常好！转载地址

 

矩阵快速幂基本上和快速幂是一样的，所以这里我用快速幂来类比矩阵快速幂

它们有3点不同：

1.快速幂中的基本元素是一个正实数，矩阵快速幂的基本元素是一个矩阵。

2.快速幂中的基本操作是乘法，矩阵快速幂的基本操作是矩阵乘法。

3.快速幂的结果是一个实数，矩阵快速幂的结果是一个矩阵。

 

为了更好地讲解矩阵快速幂，我们先了解矩阵和矩阵乘法：

矩阵的定义：

 

由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：

 

矩阵乘法：

 

简单来说就是:乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

需要注意的是：矩阵相乘的条件是：矩阵A的行数等于矩阵B的列数

                                                      矩阵A的列数等于矩阵B的行数

 

对于这道题来说

可以看出n是一个很大的值，我们也不能求出F(n)；

我们可以把F(n)转换成a * b ^ n 的形式；

根据递推式F(n) = F(n-1) + F(n-2)

我们可以把它转化成F(n) = F(n-1) * 1 + F(n-2)  * 1;

以下是我推导的过程

这样我们就得到F(n)的一个公式，用矩阵快速幂来做，求出F(N)的复杂度log2(N) (不包括矩阵相乘的过程)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const long long  mod = 1000000007;
struct Mat{
	long long n,m;
	long long data[4][4];
}ans;
Mat MatMul(Mat a,Mat b)
{
	Mat temp ;
	temp.n = a.n;
	temp.m = b.m;
	for(long long i=1;i<=temp.n;i++){
		for(long long j = 1;j<=temp.m;j++){
			temp.data[i][j] = 0;
			for(long long k = 1;k<=temp.m;k++){
				temp.data[i][j] += (a.data[i][k] * b.data[k][j]); 
			} 
		} 
	}
	return temp;
}
Mat MatMod(Mat a,long long mod)
{
	Mat temp = a;
	for(long long i=1;i<=temp.n;i++){
		for(long long j=1;j<=temp.m;j++){
			temp.data[i][j] %= mod;
		}
	}
	return temp;
}
Mat MatFastPower(Mat a,long long k)
{
	Mat res = a;
	ans.data[1][1] = 1;
	ans.data[1][2] = 0;
	ans.data[2][1] = 0;
	ans.data[2][2] = 1;
	ans.m = ans.n = 2;
	while(k){
		if(k&1) ans = MatMod(MatMul(ans,res),mod);
		res = MatMod(MatMul(res,res),mod);
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	Mat a;
	a.data[1][1] = 1;
	a.data[1][2] = 1;
	a.data[2][1] = 1;
	a.data[2][2] = 0;
	a.n = a.m = 2;
	long long k;
	scanf("%lld",&k);
	if( k == 0){
		printf("0\n");
		return 0;
	}
	Mat result = MatFastPower(a,k-1);
	long long res = 1*result.data[1][1];
	printf("%lld\n",res%mod);
	return 0;
}

 矩阵快速幂题目